В треугольнике M N K MNK угол M N K MNK равен 2 5 ∘ 25 ∘ , M K = K N MK=KN . Найди внешний угол при вершине K K .

Давайте решим задачу шаг за шагом.

Дано:

1. Угол \( \angle MNK = 25^\circ \)
2. Стороны \( MK \) и \( KN \) равны, т.е. треугольник \( MNK \) является изососесним, где \( MK = KN \).

Необходимо:

Найти внешний угол при вершине \( K \).

Шаг 1: Находим угол \( K \)

В изососеснем треугольнике углы при основании равны. Обозначим угол \( \angle MKN \) как \( x \). Тогда:

\[ \angle MKN = \angle KNM = x \]

Согласно теореме о сумме углов в треугольнике:

\[ \angle MNK + \angle MKN + \angle KNM = 180^\circ \]

Подставим известные значения и упростим уравнение:

\[ 25^\circ + x + x = 180^\circ \]

\[ 25^\circ + 2x = 180^\circ \]

Вычтем \( 25^\circ \) из обеих сторон:

\[ 2x = 180^\circ - 25^\circ \]

\[ 2x = 155^\circ \]

Теперь найдем \( x \):

\[ x = \frac{155^\circ}{2} = 77.5^\circ \]

Таким образом, угол \( \angle MKN = \angle KNM = 77.5^\circ \).

Шаг 2: Находим внешний угол при вершине \( K \)

Внешний угол при вершине \( K \) равен сумме не смежных углов треугольника. В нашем случае это углы \( \angle MNK \) и \( \angle KNM \):

\[ \text{Внешний угол} = \angle MNK + \angle KNM \]

Подставляем значения:

\[ \text{Внешний угол} = 25^\circ + 77.5^\circ = 102.5^\circ \]

Ответ:

Внешний угол при вершине \( K \) равен \( 102.5^\circ \).