Чтобы найти обособленные приложения в тексте, нужно выявить слова или фразы, которые являются уточняющими, поясняющими или добавочными по отношению к основному предложению. Они обычно выделяются запятыми.
Давайте рассмотрим текст:
[День начался с того, что хозяин Каштанки, столяр Лука Александрыч, надел шапку...]
- Обособленное приложение: столяр Лука Александрыч. Это уточнение, кто именно является хозяином Каштанки.
[...взял под мышку какую-то деревянную штуку, завернутую в красный платок, и крикнул:...]
- В этом предложении обособленных приложений нет.
[Слыша своё имя, молодая рыжая собачка — помесь такса с дворовой...]
- Обособленное приложение: помесь такса с дворовой. Здесь приложение поясняет, какая именно это была собачка.
[Знакомый Луке Александрычу запах ужасно далеко — где-то за городом. (3) Каштанка помнила, что...]
- Обособленных приложений в этой части нет.
[(6) От радости, что ее взяли гулять, рыжая, оброслая в зиму на вагоны, забегала во двор и гонялась за собаками...]
- В этом предложении обособленных приложений нет.
[Столяр то и дело терпел ее выходы, останавливался и сердито кричал на неё.]
- Здесь также нет обособленных приложений.
Таким образом, в тексте обособленные приложения: столяр Лука Александрыч и помесь такса с дворовой.