Два автомобиля одновременно отправляются в  540-километровый пробег. Первый едет со скоростью на  9 км/ч меньше, чем второй, и прибывает к финишу на  2 ч позже второго. Найди скорость первого автомобиля.

Давайте решим задачу пошагово. 1. **Обозначим скорости автомобилей.** Пусть скорость второго автомобиля равна \( v \) км/ч. Тогда скорость первого автомобиля будет \( v - 9 \) км/ч. 2. **Запишем формулы для времени в пути.** Время, которое затрачивает каждый автомобиль, можно найти по формуле: \[ \text{время} = \frac{\text{расстояние}}{\text{скорость}} \] Для второго автомобиля: \[ t_2 = \frac{540}{v} \] Для первого автомобиля (который прибывает позже на 2 часа): \[ t_1 = \frac{540}{v - 9} \] 3. **Запишем уравнение для времени.** Из условия задачи известно, что первый автомобиль прибывает на 2 часа позже второго: \[ t_1 = t_2 + 2 \] Подставим наши выражения для \( t_1 \) и \( t_2 \): \[ \frac{540}{v - 9} = \frac{540}{v} + 2 \] 4. **Упростим уравнение.** Умножим все части уравнения на \( v(v - 9) \) (чтобы избавиться от дробей): \[ 540v = 540(v - 9) + 2v(v - 9) \] Раскроем скобки: \[ 540v = 540v - 4860 + 2v^2 - 18v \] Упростим уравнение, убирая \( 540v \) с обеих сторон: \[ 0 = 2v^2 - 18v - 4860 \] Упростим это уравнение, разделив все коэффициенты на 2: \[ 0 = v^2 - 9v - 2430 \] 5. **Решим квадратное уравнение.** Используем формулу корней квадратного уравнения: \[ v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Здесь \( a = 1, b = -9, c = -2430 \): \[ v = \frac{9 \pm \sqrt{(-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2430)}}{2 \cdot 1} \] Рассчитаем дискриминант: \[ D = 81 + 9720 = 9801 \] Теперь найдём корень дискриминанта: \[ \sqrt{9801} = 99 \] Подставим значение дискриминанта обратно в формулу: \[ v = \frac{9 \pm 99}{2} \] 6. **Находим два возможных значения для скорости второго автомобиля.** \[ v_1 = \frac{108}{2} = 54 \quad \text{и} \quad v_2 = \frac{-90}{2} = -45 \quad (\text{не подходит, скорость не может быть отрицательной}) \] Таким образом, скорость второго автомобиля \( v = 54 \) км/ч. 7. **Находим скорость первого автомобиля.** Скорость первого автомобиля равна: \[ v - 9 = 54 - 9 = 45 \text{ км/ч} \] **Ответ:** Скорость первого автомобиля — 45 км/ч.