Два автомобиля одновременно отправляются в 540 -километровый пробег. Первый едет со скоростью на 9 км/ч меньше, чем второй, и прибывает к финишу на 2 ч позже второго. Найди…

Давайте решим задачу пошагово.

1. Обозначим скорости автомобилей.
   Пусть скорость второго автомобиля равна \( v \) км/ч. Тогда скорость первого автомобиля будет \( v - 9 \) км/ч.

2. Запишем формулы для времени в пути.
   Время, которое затрачивает каждый автомобиль, можно найти по формуле: \[ \text{время} = \frac{\text{расстояние}}{\text{скорость}} \] Для второго автомобиля: \[ t_2 = \frac{540}{v} \] Для первого автомобиля (который прибывает позже на 2 часа): \[ t_1 = \frac{540}{v - 9} \]

3. Запишем уравнение для времени.
   Из условия задачи известно, что первый автомобиль прибывает на 2 часа позже второго: \[ t_1 = t_2 + 2 \] Подставим наши выражения для \( t_1 \) и \( t_2 \): \[ \frac{540}{v - 9} = \frac{540}{v} + 2 \]

4. Упростим уравнение.
   Умножим все части уравнения на \( v(v - 9) \) (чтобы избавиться от дробей): \[ 540v = 540(v - 9) + 2v(v - 9) \] Раскроем скобки: \[ 540v = 540v - 4860 + 2v^2 - 18v \] Упростим уравнение, убирая \( 540v \) с обеих сторон: \[ 0 = 2v^2 - 18v - 4860 \] Упростим это уравнение, разделив все коэффициенты на 2: \[ 0 = v^2 - 9v - 2430 \]

5. Решим квадратное уравнение.
   Используем формулу корней квадратного уравнения: \[ v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Здесь \( a = 1, b = -9, c = -2430 \): \[ v = \frac{9 \pm \sqrt{(-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2430)}}{2 \cdot 1} \] Рассчитаем дискриминант: \[ D = 81 + 9720 = 9801 \] Теперь найдём корень дискриминанта: \[ \sqrt{9801} = 99 \] Подставим значение дискриминанта обратно в формулу: \[ v = \frac{9 \pm 99}{2} \]

6. Находим два возможных значения для скорости второго автомобиля.
   \[ v_1 = \frac{108}{2} = 54 \quad \text{и} \quad v_2 = \frac{-90}{2} = -45 \quad (\text{не подходит, скорость не может быть отрицательной}) \] Таким образом, скорость второго автомобиля \( v = 54 \) км/ч.

7. Находим скорость первого автомобиля.
   Скорость первого автомобиля равна: \[ v - 9 = 54 - 9 = 45 \text{ км/ч} \]

Ответ: Скорость первого автомобиля — 45 км/ч.