Диагональ прямоугольника равна 10 см, а его периметр равен 28 см.найдите стороны прямоугольника

Для решения данной задачи будем использовать известные формулы для периметра и диагонали прямоугольника. Обозначим стороны прямоугольника, как \( a \) и \( b \). ### Шаг 1: Запись данных 1. Длина диагонали \( d = 10 \) см. 2. Периметр \( P = 28 \) см. ### Шаг 2: Формулы - Формула для периметра прямоугольника: \[ P = 2(a + b) \] - Формула для диагонали прямоугольника: \[ d = \sqrt{a^2 + b^2} \] ### Шаг 3: Подстановка значений в уравнения 1. Из формулы периметра: \[ 28 = 2(a + b) \] Делим обе стороны на 2: \[ a + b = 14 \quad \text{(1)} \] 2. Из формулы диагонали: \[ 10 = \sqrt{a^2 + b^2} \] Возводим в квадрат обе стороны: \[ 100 = a^2 + b^2 \quad \text{(2)} \] ### Шаг 4: Решение системы уравнений Теперь у нас есть система из двух уравнений: 1. \( a + b = 14 \) (уравнение 1) 2. \( a^2 + b^2 = 100 \) (уравнение 2) Сначала выразим одну переменную через другую из уравнения (1): \[ b = 14 - a \] Теперь подставим значение \( b \) в уравнение (2): \[ a^2 + (14 - a)^2 = 100 \] Раскроем скобки: \[ a^2 + (196 - 28a + a^2) = 100 \] \[ 2a^2 - 28a + 196 = 100 \] Подготовим уравнение к стандартному виду, вычтем 100 из обеих сторон: \[ 2a^2 - 28a + 96 = 0 \] ### Шаг 5: Упрощение уравнения Делим все на 2: \[ a^2 - 14a + 48 = 0 \] ### Шаг 6: Использование формулы для нахождения корней Рассчитаем дискриминант \( D \): \[ D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 48 \] \[ D = 196 - 192 = 4 \] Корни уравнения находятся по формуле: \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставляем значения: \[ a = \frac{14 \pm 2}{2} \] Получаем два возможных корня: 1. \( a = \frac{16}{2} = 8 \) 2. \( a = \frac{12}{2} = 6 \) ### Шаг 7: Находим \( b \) Теперь можем найти \( b \) используя уравнение \( b = 14 - a \): 1. Если \( a = 8 \), то \( b = 14 - 8 = 6 \). 2. Если \( a = 6 \), то \( b = 14 - 6 = 8 \). ### Ответ Таким образом, стороны прямоугольника \( a = 8 \) см и \( b = 6 \) см.