диагональ прямоугольника равна 10 см, а его периметр равен 28 см.найдите стороны прямоугольника

Для решения данной задачи будем использовать известные формулы для периметра и диагонали прямоугольника. Обозначим стороны прямоугольника, как \( a \) и \( b \).

Шаг 1: Запись данных

1. Длина диагонали \( d = 10 \) см.
2. Периметр \( P = 28 \) см.

Шаг 2: Формулы

• Формула для периметра прямоугольника:
  \[ P = 2(a + b) \]

• Формула для диагонали прямоугольника:
  \[ d = \sqrt{a^2 + b^2} \]

Шаг 3: Подстановка значений в уравнения

1. Из формулы периметра: \[ 28 = 2(a + b) \] Делим обе стороны на 2: \[ a + b = 14 \quad \text{(1)} \]

2. Из формулы диагонали: \[ 10 = \sqrt{a^2 + b^2} \] Возводим в квадрат обе стороны: \[ 100 = a^2 + b^2 \quad \text{(2)} \]

Шаг 4: Решение системы уравнений

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. \( a + b = 14 \) (уравнение 1)
2. \( a^2 + b^2 = 100 \) (уравнение 2)

Сначала выразим одну переменную через другую из уравнения (1): \[ b = 14 - a \]

Теперь подставим значение \( b \) в уравнение (2): \[ a^2 + (14 - a)^2 = 100 \]

Раскроем скобки: \[ a^2 + (196 - 28a + a^2) = 100 \] \[ 2a^2 - 28a + 196 = 100 \] Подготовим уравнение к стандартному виду, вычтем 100 из обеих сторон: \[ 2a^2 - 28a + 96 = 0 \]

Шаг 5: Упрощение уравнения

Делим все на 2: \[ a^2 - 14a + 48 = 0 \]

Шаг 6: Использование формулы для нахождения корней

Рассчитаем дискриминант \( D \): \[ D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 48 \] \[ D = 196 - 192 = 4 \]

Корни уравнения находятся по формуле: \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставляем значения: \[ a = \frac{14 \pm 2}{2} \] Получаем два возможных корня:

1. \( a = \frac{16}{2} = 8 \)
2. \( a = \frac{12}{2} = 6 \)

Шаг 7: Находим \( b \)

Теперь можем найти \( b \) используя уравнение \( b = 14 - a \):

1. Если \( a = 8 \), то \( b = 14 - 8 = 6 \).
2. Если \( a = 6 \), то \( b = 14 - 6 = 8 \).

Ответ

Таким образом, стороны прямоугольника \( a = 8 \) см и \( b = 6 \) см.