Плоские углы ASB, BSC и CSA трехгранного угла SABC равны 45, 45 и 60 градусам соответственно. Найдите двугранный угол при ребре SC по теореме косинусов для трехгранного угла

Для нахождения двугранного угла при ребре \( SC \) в трехгранном угле \( SABC \) с известными плоскими углами \( ASB = 45^\circ \), \( BSC = 45^\circ \) и \( CSA = 60^\circ \) воспользуемся теоремой косинусов для трехгранного угла.

Шаг 1: Определение двугранного угла

Двугранный угол при ребре \( SC \) обозначим как \( \phi \). В этом случае нам необходимо использовать формулы, связывающие плоские углы и двугранный угол в трехгранном угле.

Шаг 2: Связь между углами

Согласно теореме косинусов для трехгранного угла, можно записать следующий вид:

\[ \cos \phi = \frac{\cos(ASB) \cdot \cos(BSC) + \sin(ASB) \cdot \sin(BSC) \cdot \cos(CSA)}{\sqrt{(1 + \cos^2(ASB))(1 + \cos^2(BSC))}} \]

Шаг 3: Подстановка значений

Поскольку наши углы равны \( 45^\circ \) и \( 60^\circ \), подставим значения:

• \( \cos(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}} \)
• \( \sin(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}} \)
• \( \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \)
• \( \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

Теперь подставим эти значения в формулу:

\[ \cos \phi = \frac{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)}{\sqrt{(1 + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2)(1 + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2)}} \]

Шаг 4: Упрощение выражения

Посчитаем числитель:

\[ \cos \phi = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{(1 + \frac{1}{2})(1 + \frac{1}{2})}} = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{4}}{(1.5)} = \frac{\frac{3}{4}}{(1.5)} = \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{2} \]

Теперь посчитаем еще раз корень в знаменателе:

\[ \sqrt{\left(1 + \frac{1}{2}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{2}\right)} = \sqrt{\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2}} = \frac{3}{2} \]

Теперь заменим:

\[ \cos \phi = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{3}{2}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{2} \]

Шаг 5: Нахождение угла

Теперь, чтобы найти сам двугранный угол \( \phi \):

\[ \cos \phi = \frac{1}{2} \Rightarrow \phi = 60^\circ \]

Ответ

Двугранный угол при ребре \( SC \) равен \( 60^\circ \).