Для решения задачи о нахождении площади боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, следуем следующим шагам.
Шаг 1: Понимание конструкции пирамиды.
Правильная четырехугольная пирамида имеет квадратное основание. Стороны основания равны 10, поэтому мы можем обозначить:
- Длина стороны основания (квадрата) ( a = 10 ).
- Боковые рёбра равны ( b = \sqrt{314} ).
Шаг 2: Найти высоту боковой грани.
Каждая боковая грань пирамиды — это равнобедренный треугольник, основание которого равно стороне пирамиды (10), а боковые стороны равны длине боковых рёбер (( b )). Чтобы найти высоту этого треугольника, сначала находим половину основания, которая будет равна:
[
\frac{a}{2} = \frac{10}{2} = 5.
]
Теперь можем использовать теорему Пифагора для нахождения высоты ( h ) боковой грани:
[
b^2 = h^2 + \left( \frac{a}{2} \right)^2.
]
Подставим известные значения:
[
(\sqrt{314})^2 = h^2 + 5^2.
]
Это упростится до:
[
314 = h^2 + 25.
]
Теперь вычтем 25 из обеих сторон:
[
h^2 = 314 - 25 = 289.
]
Теперь найдём высоту ( h ):
[
h = \sqrt{289} = 17.
]
Шаг 3: Найти площадь боковой поверхности.
Площадь одной боковой грани (равнобедренного треугольника) можно найти по формуле:
[
S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} = \frac{1}{2} \times 10 \times 17.
]
Вычислим площадь одной грани:
[
S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \times 10 \times 17 = 5 \times 17 = 85.
]
Поскольку таких боковых граней четыре, общая площадь боковой поверхности ( S_{\text{бок. пов.}} ) будет:
[
S_{\text{бок. пов.}} = 4 \times S_{\text{треугольника}} = 4 \times 85 = 340.
]
Ответ:
Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды равна 340.
