Для решения задачи будем использовать уравнение состояния идеального газа и закон Бойля-Мариотта вместе с понятием работы, совершенной газом при изобарном (постоянном давлении) процессе.
Дано:
- Температура нагревания газа (ΔT) = 200 K
- Работа (A) = 25 кДж = 25,000 Дж
- Газовый постоянный R = 8.31 Дж/(моль·К)
Необходимые формулы:
Формула работы при изобарном процессе:
[
A = P \Delta V
]
где P - давление, а (\Delta V) - изменение объёма.
Закон состояния идеального газа:
[
PV = nRT
]
где ( n ) - количество молей, ( V ) - объём, ( T ) - температура.
Шаг 1: Выразим изменение объёма через работу
При постоянном давлении (изобарно):
[
A = P \Delta V \implies \Delta V = \frac{A}{P}
]
Шаг 2: Подстановка в уравнение состояния
Из уравнения состояния газа:
[
PV = nRT
]
где ( n ) количество моль, ( V ) объём, а ( T ) - конечная температура. Мы можем выразить число моль ( n ) через массу ( m ):
[
n = \frac{m}{M}
]
где ( M ) - молярная масса кислорода (примерно 32 г/моль).
Шаг 3: Соединяем уравнения
Заменяем ( n ) в уравнении состояния:
[
PV = \frac{m}{M}RT
]
При нагревании на 200 K конечная температура:
[
T_{final} = T_{initial} + 200
]
Но чтобы упростить задачу, предположим, что температура начальная T = 0°C (273 K):
Тогда:
[
T_{final} = 273 + 200 = 473 K
]
Теперь у нас получается следующее уравнение:
[
PV = \frac{m}{M}R \cdot 473
]
Подставим (V = \Delta V):
[
P(\Delta V) = \frac{m}{M}R \cdot 473
]
Шаг 4: Соединяем все уравнения
Заменяем (\Delta V):
[
P \left(\frac{A}{P}\right) = \frac{m}{M}R \cdot 473
]
Убираем P:
[
A = \frac{m}{M}R \cdot 473
]
Теперь выразим массу:
[
m = \frac{A \cdot M}{R \cdot 473}
]
Шаг 5: Подставим значения
- A = 25,000 Дж
- M = 32 г/моль = 0.032 кг/моль
Теперь подставляем значения:
[
m = \frac{25000 \cdot 0.032}{8.31 \cdot 473}
]
Шаг 6: Расчет
Сначала вычислим знаменатель:
[
8.31 \cdot 473 \approx 3925.03
]
Теперь подставим это значение в формулу:
[
m = \frac{25000 \cdot 0.032}{3925.03} \approx \frac{800}{3925.03} \approx 0.203 kg
]
Ответ:
Масса кислорода составляет приблизительно 0.203 кг.
