Функция задана формулой �=�2−4y=x2−4, где −3<�<5−3<x<5. Найди все значения �y, соответствующие положительным значениям �x.
Для решения данного задания начнем с того, что у нас есть функция, заданная формулой:
\[ y = x^2 - 4 \]
и необходимо найти все значения \( y \) при условии, что \( x \) принимает положительные значения в пределах \( -3 < x < 5 \).
Шаг 1: Определим положительные значения \( x \)
Исходя из условия \( -3 < x < 5 \), положительные значения \( x \) будут в диапазоне:
\[ 0 < x < 5 \]
Шаг 2: Подставим положительные значения \( x \) в функцию
Теперь мы можем подставить положительные значения \( x \) в формулу \( y = x^2 - 4 \).
Шаг 3: Найдем границы значений \( y \)
Находим значение \( y \) при \( x = 0 \): \[ y = 0^2 - 4 = -4 \]
Находим значение \( y \) при \( x = 5 \): \[ y = 5^2 - 4 = 25 - 4 = 21 \]
Шаг 4: Найдем все значения \( y \) для \( 0 < x < 5 \)
Функция \( y = x^2 - 4 \) является параболой, открытой вверх, и будет принимать значения от \( -4 \) при \( x = 0 \) до \( 21 \) при \( x = 5 \). Поскольку у нас есть только положительные значения \( x \), \( y \) будет меняться от \( -4 \) до \( 21 \).
Так как для \( 0 < x < 5 \), значения \( y \) будут диапазоном:
\[ y \in (-4, 21) \]
Шаг 5: Найдем положительные значения \( y \)
Чтобы найти положительные значения \( y \), нам нужно определить, при каких \( x \) значения функции \( y \) будут положительными.
Сначала определим, при каких \( x \) выполняется
\[ y > 0 \]
Это значит:
\[ x^2 - 4 > 0 \] \[ x^2 > 4 \] \[ |x| > 2 \]
Поскольку \( x \) положительно, это значит, что:
\[ x > 2 \]
Таким образом, \( x \) должен находиться в пределах:
\[ 2 < x < 5 \]
Подытожим:
Теперь мы можем собрать всё вместе:
При \( x \) в диапазоне \( 2 < x < 5 \), значения \( y \) будут положительными.
Значения \( y \) при этих \( x \) будут находиться в диапазоне:
При \( x = 2 \): \[ y = 2^2 - 4 = 0\]
При \( x = 5 \): \[ y = 5^2 - 4 = 21 \]
Таким образом, \( y \) будет принимать все значения в диапазоне:
\[ y \in (0, 21) \]
Ответ:
Все положительные значения \( y \), соответствующие положительным значениям \( x \) на интервале \( -3 < x < 5 \), это:
\[ y \in (0, 21) \]
