реши вектора, прописными буквами
Для решения этой задачи выполним все три пункта по очереди.
Вариант 1
- Найдите скалярное произведение вектора а и б, если:
- \( |a| = 1 \), \( |b| = 2 \), угол между векторами 60°.
Скалярное произведение векторов \( a \) и \( b \) рассчитывается по формуле:
\[ a \cdot b = |a| \cdot |b| \cdot \cos \theta \]
где \( \theta \) — угол между векторами.
Подставим значения:
\[ a \cdot b = 1 \cdot 2 \cdot \cos 60^\circ = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 \]
Скалярное произведение векторов равно 1.
- Вычислите косинус угла между векторами \(\vec{a} = (-3; 4)\) и \(\vec{b} = (4; 3)\).
Косинус угла между двумя векторами рассчитывается как:
\[ \cos \theta = \frac{a \cdot b}{|a| \cdot |b|} \]
Сначала найдем скалярное произведение \( a \cdot b \):
\[ a \cdot b = (-3) \cdot 4 + 4 \cdot 3 = -12 + 12 = 0 \]
Теперь найдем длины векторов \( a \) и \( b \):
\[ |a| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]
\[ |b| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \]
Теперь подставим в формулу для косинуса:
\[ \cos \theta = \frac{0}{5 \cdot 5} = 0 \]
Косинус угла между векторами равен 0, что означает, что векторы перпендикулярны.
- Найдите значение х, при котором векторы \(\vec{a} = (x; 2)\) и \(\vec{b} = (4; -3)\) перпендикулярны.
Чтобы два вектора были перпендикулярны, их скалярное произведение должно быть равно 0:
\[ a \cdot b = x \cdot 4 + 2 \cdot (-3) = 0 \]
\[ 4x - 6 = 0 \]
Решим уравнение:
\[ 4x = 6 \]
\[ x = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \]
Значение \( x \), при котором векторы перпендикулярны, равно \( \frac{3}{2} \).
