Для решения данной задачи мы будем использовать биномиальное распределение. Вероятность ( p ) поражения цели составляет ( 0,7 ), а количество попыток ( n ) равно ( 10 ). Нам нужно найти вероятность того, что цель будет поражена не менее 5, но не более 6 раз.
Шаг 1: Определение необходимых параметров
- Вероятность поражения цели: ( p = 0,7 )
- Вероятность промаха: ( q = 1 - p = 0,3 )
- Общее количество попыток: ( n = 10 )
Шаг 2: Использование биномиальной формулы
Вероятность того, что цель будет поражена ( k ) раз в ( n ) попытках, вычисляется по формуле:
[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k}
]
где ( C(n, k) ) — количество сочетаний (число способов выбрать ( k ) успешных попыток из ( n )):
[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
]
Шаг 3: Вычисление вероятностей для ( k = 5 ) и ( k = 6 )
1. Вычисление ( P(X = 5) )
[
C(10, 5) = \frac{10!}{5! \cdot 5!} = 252
]
Теперь подставим значения в формулу:
[
P(X = 5) = C(10, 5) \cdot p^5 \cdot q^{10-5} = 252 \cdot (0,7)^5 \cdot (0,3)^5
]
Вычислим каждую часть отдельно:
- ( (0,7)^5 = 0,16807 )
- ( (0,3)^5 = 0,00243 )
Теперь подставим в формулу:
[
P(X = 5) = 252 \cdot 0,16807 \cdot 0,00243 \approx 0,097
]
2. Вычисление ( P(X = 6) )
[
C(10, 6) = \frac{10!}{6! \cdot 4!} = 210
]
Подставляем в формулу:
[
P(X = 6) = C(10, 6) \cdot p^6 \cdot q^{10-6} = 210 \cdot (0,7)^6 \cdot (0,3)^4
]
Вычислим:
- ( (0,7)^6 = 0,117649 )
- ( (0,3)^4 = 0,0081 )
И теперь подставим в формулу:
[
P(X = 6) = 210 \cdot 0,117649 \cdot 0,0081 \approx 0,181
]
Шаг 4: Объединение результатов
Теперь найдем общую вероятность, что цель будет поражена не менее 5, но не более 6 раз:
[
P(5 \leq X \leq 6) = P(X = 5) + P(X = 6) \approx 0,097 + 0,181 = 0,278
]
Ответ
Таким образом, вероятность того, что цель будет поражена не менее 5, но не более 6 раз при 10 попытках, составляет примерно ( 0,278 ) или ( 27,8% ).
