вероятность поражения цели равна 0,7 определите вероятность что при 10 в попытках цель будет поражена не менее 5 но не более 6 раз
Для решения данной задачи мы будем использовать биномиальное распределение. Вероятность \( p \) поражения цели составляет \( 0,7 \), а количество попыток \( n \) равно \( 10 \). Нам нужно найти вероятность того, что цель будет поражена не менее 5, но не более 6 раз.
Шаг 1: Определение необходимых параметров
- Вероятность поражения цели: \( p = 0,7 \)
- Вероятность промаха: \( q = 1 - p = 0,3 \)
- Общее количество попыток: \( n = 10 \)
Шаг 2: Использование биномиальной формулы
Вероятность того, что цель будет поражена \( k \) раз в \( n \) попытках, вычисляется по формуле:
\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]
где \( C(n, k) \) — количество сочетаний (число способов выбрать \( k \) успешных попыток из \( n \)):
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]
Шаг 3: Вычисление вероятностей для \( k = 5 \) и \( k = 6 \)
1. Вычисление \( P(X = 5) \)
\[ C(10, 5) = \frac{10!}{5! \cdot 5!} = 252 \]
Теперь подставим значения в формулу:
\[ P(X = 5) = C(10, 5) \cdot p^5 \cdot q^{10-5} = 252 \cdot (0,7)^5 \cdot (0,3)^5 \]
Вычислим каждую часть отдельно:
- \( (0,7)^5 = 0,16807 \)
- \( (0,3)^5 = 0,00243 \)
Теперь подставим в формулу:
\[ P(X = 5) = 252 \cdot 0,16807 \cdot 0,00243 \approx 0,097 \]
2. Вычисление \( P(X = 6) \)
\[ C(10, 6) = \frac{10!}{6! \cdot 4!} = 210 \]
Подставляем в формулу:
\[ P(X = 6) = C(10, 6) \cdot p^6 \cdot q^{10-6} = 210 \cdot (0,7)^6 \cdot (0,3)^4 \]
Вычислим:
- \( (0,7)^6 = 0,117649 \)
- \( (0,3)^4 = 0,0081 \)
И теперь подставим в формулу:
\[ P(X = 6) = 210 \cdot 0,117649 \cdot 0,0081 \approx 0,181 \]
Шаг 4: Объединение результатов
Теперь найдем общую вероятность, что цель будет поражена не менее 5, но не более 6 раз:
\[ P(5 \leq X \leq 6) = P(X = 5) + P(X = 6) \approx 0,097 + 0,181 = 0,278 \]
Ответ
Таким образом, вероятность того, что цель будет поражена не менее 5, но не более 6 раз при 10 попытках, составляет примерно \( 0,278 \) или \( 27,8\% \).
