Постройте доверительный интервал для истинного значения измеряемой величины доверительной вероятностью 0,95, если результат эксперемента4,3,7,2,4

Чтобы построить доверительный интервал для истинного значения измеряемой величины с доверительной вероятностью 0,95, мы будем следовать следующим шагам: ### Шаг 1: Собрать данные У нас есть результаты эксперимента: \[ X_1 = 4.3, \quad X_2 = 7.2, \quad X_3 = 4, \quad X_4 = 3 \] ### Шаг 2: Рассчитать среднее значение Сначала вычислим среднее значение (среднюю арифметическую) данных. \[ \bar{X} = \frac{X_1 + X_2 + X_3 + X_4}{n} \] где \( n \) — количество измерений (в нашем случае, \( n = 4 \)). Подставим значения: \[ \bar{X} = \frac{4.3 + 7.2 + 4 + 3}{4} = \frac{18.5}{4} = 4.625 \] ### Шаг 3: Рассчитать стандартное отклонение Теперь нужно найти стандартное отклонение \( s \) выборки. Для этого используем формулу для стандартного отклонения выборки: \[ s = \sqrt{\frac{\sum (X_i - \bar{X})^2}{n-1}} \] Сначала находим отклонения от среднего и их квадраты: - Для \( X_1 = 4.3 \): \( (4.3 - 4.625)^2 = (–0.325)^2 = 0.105625 \) - Для \( X_2 = 7.2 \): \( (7.2 - 4.625)^2 = (2.575)^2 = 6.635625 \) - Для \( X_3 = 4.0 \): \( (4.0 - 4.625)^2 = (–0.625)^2 = 0.390625 \) - Для \( X_4 = 3.0 \): \( (3.0 - 4.625)^2 = (–1.625)^2 = 2.640625 \) Теперь суммируем эти квадраты: \[ \sum (X_i - \bar{X})^2 = 0.105625 + 6.635625 + 0.390625 + 2.640625 = 9.7725 \] Теперь подставим значения в формулу для стандартного отклонения: \[ s = \sqrt{\frac{9.7725}{4-1}} = \sqrt{\frac{9.7725}{3}} = \sqrt{3.2575} \approx 1.804 \] ### Шаг 4: Найти критическое значение \( t \) Так как число измерений \( n = 4 \), а значит, для построения доверительного интервала мы используем распределение Стьюдента (t-распределение). Степени свободы: \[ df = n - 1 = 4 - 1 = 3 \] Для доверительной вероятности 0.95 и 3 степеней свободы, мы можем использовать таблицу t-распределения или калькулятор. Критическое значение \( t_{0.025} \) (двусторонний тест) для 3 степеней свободы приблизительно равно 3.182. ### Шаг 5: Построить доверительный интервал Формула для доверительного интервала выглядит следующим образом: \[ \bar{X} \pm t \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \] Подставим известные значения: \[ 4.625 \pm 3.182 \cdot \frac{1.804}{\sqrt{4}} \] \[ 4.625 \pm 3.182 \cdot \frac{1.804}{2} \approx 4.625 \pm 3.182 \cdot 0.902 = 4.625 \pm 2.874 \] Теперь считаем границы интервала: - Нижняя граница: \( 4.625 - 2.874 \approx 1.751 \) - Верхняя граница: \( 4.625 + 2.874 \approx 7.499 \) ### Итог Таким образом, доверительный интервал для истинного значения измеряемой величины с доверительной вероятностью 0.95 составляет: \[ (1.751, 7.499) \] Это означает, что с 95% вероятностью истинное значение лежит в этом интервале.