постройте доверительный интервал для истинного значения измеряемой величины доверительной вероятностью 0,95, если результат эксперемента4,3,7,2,4

Чтобы построить доверительный интервал для истинного значения измеряемой величины с доверительной вероятностью 0,95, мы будем следовать следующим шагам:

Шаг 1: Собрать данные

У нас есть результаты эксперимента: \[ X_1 = 4.3, \quad X_2 = 7.2, \quad X_3 = 4, \quad X_4 = 3 \]

Шаг 2: Рассчитать среднее значение

Сначала вычислим среднее значение (среднюю арифметическую) данных.

\[ \bar{X} = \frac{X_1 + X_2 + X_3 + X_4}{n} \] где \( n \) — количество измерений (в нашем случае, \( n = 4 \)).

Подставим значения:

\[ \bar{X} = \frac{4.3 + 7.2 + 4 + 3}{4} = \frac{18.5}{4} = 4.625 \]

Шаг 3: Рассчитать стандартное отклонение

Теперь нужно найти стандартное отклонение \( s \) выборки. Для этого используем формулу для стандартного отклонения выборки:

\[ s = \sqrt{\frac{\sum (X_i - \bar{X})^2}{n-1}} \]

Сначала находим отклонения от среднего и их квадраты:

• Для \( X_1 = 4.3 \): \( (4.3 - 4.625)^2 = (–0.325)^2 = 0.105625 \)
• Для \( X_2 = 7.2 \): \( (7.2 - 4.625)^2 = (2.575)^2 = 6.635625 \)
• Для \( X_3 = 4.0 \): \( (4.0 - 4.625)^2 = (–0.625)^2 = 0.390625 \)
• Для \( X_4 = 3.0 \): \( (3.0 - 4.625)^2 = (–1.625)^2 = 2.640625 \)

Теперь суммируем эти квадраты:

\[ \sum (X_i - \bar{X})^2 = 0.105625 + 6.635625 + 0.390625 + 2.640625 = 9.7725 \]

Теперь подставим значения в формулу для стандартного отклонения:

\[ s = \sqrt{\frac{9.7725}{4-1}} = \sqrt{\frac{9.7725}{3}} = \sqrt{3.2575} \approx 1.804 \]

Шаг 4: Найти критическое значение \( t \)

Так как число измерений \( n = 4 \), а значит, для построения доверительного интервала мы используем распределение Стьюдента (t-распределение).

Степени свободы: \[ df = n - 1 = 4 - 1 = 3 \]

Для доверительной вероятности 0.95 и 3 степеней свободы, мы можем использовать таблицу t-распределения или калькулятор. Критическое значение \( t_{0.025} \) (двусторонний тест) для 3 степеней свободы приблизительно равно 3.182.

Шаг 5: Построить доверительный интервал

Формула для доверительного интервала выглядит следующим образом: \[ \bar{X} \pm t \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \]

Подставим известные значения:

\[ 4.625 \pm 3.182 \cdot \frac{1.804}{\sqrt{4}} \]

\[ 4.625 \pm 3.182 \cdot \frac{1.804}{2} \approx 4.625 \pm 3.182 \cdot 0.902 = 4.625 \pm 2.874 \]

Теперь считаем границы интервала:

• Нижняя граница: \( 4.625 - 2.874 \approx 1.751 \)
• Верхняя граница: \( 4.625 + 2.874 \approx 7.499 \)

Итог

Таким образом, доверительный интервал для истинного значения измеряемой величины с доверительной вероятностью 0.95 составляет: \[ (1.751, 7.499) \]

Это означает, что с 95% вероятностью истинное значение лежит в этом интервале.