Найди скалярное произведение m → − 2 n → m −2 n и m → m , если ∣ m → ∣ = 3 ∣ m ∣=3 , ∣ n → ∣ = 5 ∣ n ∣=5 , m → n → ^ = 60 ° m n =60° .

Чтобы найти скалярное произведение векторов \( \vec{m} - 2\vec{n} \) и \( \vec{m} \), воспользуемся свойствами скалярного произведения.

Шаг 1. Понимание скалярного произведения

Скалярное произведение двух векторов \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) вычисляется по формуле: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\theta) \] где \( |\vec{a}| \) и \( |\vec{b}| \) — длины векторов, а \( \theta \) — угол между ними.

Шаг 2. Определение векторов и их параметров

Даны параметры:

• \( |\vec{m}| = 3 \)
• \( |\vec{n}| = 5 \)
• \( \angle \vec{m} \vec{n} = 60^\circ \)

Шаг 3. Вычисление \( \vec{m} - 2\vec{n} \)

Теперь воспользуемся свойством линейности скалярного произведения: \[ (\vec{m} - 2\vec{n}) \cdot \vec{m} = \vec{m} \cdot \vec{m} - 2\vec{n} \cdot \vec{m} \]

Шаг 4. Вычисление \( \vec{m} \cdot \vec{m} \)

Сначала вычислим \( \vec{m} \cdot \vec{m} \): \[ \vec{m} \cdot \vec{m} = |\vec{m}|^2 = 3^2 = 9 \]

Шаг 5. Вычисление \( \vec{n} \cdot \vec{m} \)

Теперь найдём скалярное произведение \( \vec{n} \cdot \vec{m} \): \[ \vec{n} \cdot \vec{m} = |\vec{n}| |\vec{m}| \cos(\theta) = 5 \cdot 3 \cdot \cos(60^\circ) \] Зная, что \( \cos(60^\circ) = 0.5 \): \[ \vec{n} \cdot \vec{m} = 5 \cdot 3 \cdot 0.5 = 7.5 \]

Шаг 6. Подсчёт окончательного скалярного произведения

Теперь подставим значения в формулу из Шага 3: \[ (\vec{m} - 2\vec{n}) \cdot \vec{m} = 9 - 2 \cdot 7.5 \] \[ = 9 - 15 = -6 \]

Ответ

Скалярное произведение \( \vec{m} - 2\vec{n} \) и \( \vec{m} \) равно \(-6\).