Для решения задачи начнём с введения обозначений и составления системы уравнений.
Допустим, скорость второго лыжника — ( v ) км/ч. Тогда скорость первого лыжника, который движется на 2 км/ч быстрее, равна ( v + 2 ) км/ч.
Кроме того, расстояние, которое оба лыжника прошли, равно 20 км.
Теперь рассчитаем время, затрачиваемое каждым лыжником на преодоление этого расстояния. Время ( t ) определяется по формуле:
[
t = \frac{S}{V}
]
где ( S ) — расстояние, ( V ) — скорость.
Время второго лыжника:
[
t_2 = \frac{20}{v}
]
Время первого лыжника:
[
t_1 = \frac{20}{v + 2}
]
Согласно условию задачи, первый лыжник прошёл расстояние на 20 минут быстрее второго. Переведём 20 минут в часы, так как скорости у нас в км/ч. Это будет ( \frac{20}{60} = \frac{1}{3} ) часа.
Поэтому мы можем составить следующее уравнение:
[
t_2 = t_1 + \frac{1}{3}
]
Подставляем времена из наших выражений:
[
\frac{20}{v} = \frac{20}{v + 2} + \frac{1}{3}
]
Теперь умножим обе стороны уравнения на ( 3v(v + 2) ) для избавления от дробей:
[
3v(v + 2) \cdot \frac{20}{v} = 3v(v + 2) \cdot \frac{20}{v + 2} + 3v(v + 2) \cdot \frac{1}{3}
]
Упрощаем:
[
60(v + 2) = 60v + v(v + 2)
]
Раскроем скобки:
[
60v + 120 = 60v + v^2 + 2v
]
Сокращаем ( 60v ) с обеих сторон:
[
120 = v^2 + 2v
]
Перепишем уравнение в стандартной форме:
[
v^2 + 2v - 120 = 0
]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \times 1 \times (-120) = 4 + 480 = 484
]
Таким образом, дискриминант ( D = 484 ).
Находим корни уравнения:
[
v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{484}}{2 \times 1} = \frac{-2 \pm 22}{2}
]
Это дает нам два значения:
- ( v_1 = \frac{20}{2} = 10 ) км/ч
- ( v_2 = \frac{-24}{2} = -12 ) км/ч (не имеет смысла в нашем контексте)
Следовательно, скорость второго лыжника ( v = 10 ) км/ч.
Теперь находим скорость первого лыжника:
[
v_1 = v + 2 = 10 + 2 = 12 \text{ км/ч}
]
Ответ:
- Скорость второго лыжника: 10 км/ч
- Скорость первого лыжника: 12 км/ч
Таким образом, мы нашли скорости обоих лыжников, и задача решена!
