Один из лыжников прошел расстояние в 20 км на 20 мин быстрее, чем другой. Найдите скорость каждого лыжника, зная, что первый двигался со скоростью на 2 км ч больше чем второй…

Для решения задачи начнём с введения обозначений и составления системы уравнений.

Допустим, скорость второго лыжника — \( v \) км/ч. Тогда скорость первого лыжника, который движется на 2 км/ч быстрее, равна \( v + 2 \) км/ч.

Кроме того, расстояние, которое оба лыжника прошли, равно 20 км.

Теперь рассчитаем время, затрачиваемое каждым лыжником на преодоление этого расстояния. Время \( t \) определяется по формуле:

\[ t = \frac{S}{V} \]

где \( S \) — расстояние, \( V \) — скорость.

1. Время второго лыжника: \[ t_2 = \frac{20}{v} \]

2. Время первого лыжника: \[ t_1 = \frac{20}{v + 2} \]

Согласно условию задачи, первый лыжник прошёл расстояние на 20 минут быстрее второго. Переведём 20 минут в часы, так как скорости у нас в км/ч. Это будет \( \frac{20}{60} = \frac{1}{3} \) часа.

Поэтому мы можем составить следующее уравнение: \[ t_2 = t_1 + \frac{1}{3} \]

Подставляем времена из наших выражений: \[ \frac{20}{v} = \frac{20}{v + 2} + \frac{1}{3} \]

Теперь умножим обе стороны уравнения на \( 3v(v + 2) \) для избавления от дробей: \[ 3v(v + 2) \cdot \frac{20}{v} = 3v(v + 2) \cdot \frac{20}{v + 2} + 3v(v + 2) \cdot \frac{1}{3} \]

Упрощаем: \[ 60(v + 2) = 60v + v(v + 2) \]

Раскроем скобки: \[ 60v + 120 = 60v + v^2 + 2v \]

Сокращаем \( 60v \) с обеих сторон: \[ 120 = v^2 + 2v \]

Перепишем уравнение в стандартной форме: \[ v^2 + 2v - 120 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \times 1 \times (-120) = 4 + 480 = 484 \]

Таким образом, дискриминант \( D = 484 \).

Находим корни уравнения: \[ v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{484}}{2 \times 1} = \frac{-2 \pm 22}{2} \]

Это дает нам два значения:

1. \( v_1 = \frac{20}{2} = 10 \) км/ч
2. \( v_2 = \frac{-24}{2} = -12 \) км/ч (не имеет смысла в нашем контексте)

Следовательно, скорость второго лыжника \( v = 10 \) км/ч.

Теперь находим скорость первого лыжника: \[ v_1 = v + 2 = 10 + 2 = 12 \text{ км/ч} \]

Ответ:

• Скорость второго лыжника: 10 км/ч
• Скорость первого лыжника: 12 км/ч

Таким образом, мы нашли скорости обоих лыжников, и задача решена!