Площадь кругового сектора,ограниченного дугой в 24 градуса,равна п деленое на 10.Найди длину дуги окружности,ограничивающий этот сектор
Чтобы найти длину дуги окружности, ограничивающей сектор, следуем шагам:
Формула для площади сектора:
Площадь сектора \( S \) определяется формулой:
\[ S = \frac{\pi R^2 \theta}{360^\circ} \]
где \( R \) — радиус окружности, а \( \theta \) — центральный угол сектора в градусах.
Подставляем значения:
Дано, что площадь сектора \( S = \frac{\pi}{10} \) и центральный угол \( \theta = 24^\circ \).
\[ \frac{\pi R^2 \cdot 24}{360} = \frac{\pi}{10} \]
Упростим уравнение:
Упростим уравнение, чтобы найти \( R^2 \):
\[ \pi R^2 \cdot \frac{2}{30} = \frac{\pi}{10} \]
\[ \frac{2\pi R^2}{30} = \frac{\pi}{10} \]
Умножим обе стороны на 30, чтобы избавиться от дроби:
\[ 2\pi R^2 = 3\pi \]
Теперь разделим на \( 2\pi \):
\[ R^2 = \frac{3}{2} \]
Найдем радиус \( R \):
\[ R = \sqrt{\frac{3}{2}} \]
Формула для длины дуги:
Длина дуги \( L \) определяется формулой:
\[ L = \frac{2\pi R \theta}{360^\circ} \]
Подставляем значения:
\[ L = \frac{2\pi \cdot \sqrt{\frac{3}{2}} \cdot 24}{360} \]
Упростим:
\[ L = \frac{2\pi \cdot 24}{360} \cdot \sqrt{\frac{3}{2}} \]
\[ L = \frac{4\pi}{30} \cdot \sqrt{\frac{3}{2}} \]
\[ L = \frac{2\pi}{15} \cdot \sqrt{\frac{3}{2}} \]
\[ L = \frac{2\pi}{15} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \]
\[ L = \frac{2\pi \sqrt{3}}{15\sqrt{2}} \]
Находим числовое значение:
Преобразуем \(\frac{2\pi \sqrt{3}}{15\sqrt{2}}\) в один из предложенных вариантов:
\[ L = \frac{\pi \sqrt{6}}{15} \]
Таким образом, правильный ответ: \(\frac{\pi \sqrt{6}}{15}\), что соответствует варианту \(\frac{\sqrt{6}}{15}\).
