На доске написано число 25 . Каждый, кто проходит мимо доски, делает следующее: считает сумму цифр числа, умножает её на 2 и записывает полученное число взамен старого. Мимо доски прошло 1000 человек. Сколько раз на доске было записано число 14 ?

Давайте решим задачу шаг за шагом. 1. **Начальное число**: У нас есть число 25 на доске. 2. **Сумма цифр**: Сначала найдем сумму цифр числа 25. - Цифры: 2 и 5 - Сумма: 2 + 5 = 7 3. **Умножение на 2**: Теперь умножим эту сумму на 2. - 7 * 2 = 14 4. **Запись нового числа**: Следовательно, первое число на доске будет заменено на 14. 5. **Новый цикл**: Теперь рассмотрим, что произойдет дальше. Мы должны повторить тот же процесс для числа 14. 6. **Сумма цифр для 14**: Найдем сумму цифр числа 14. - Цифры: 1 и 4 - Сумма: 1 + 4 = 5 7. **Умножение на 2**: Теперь умножим эту сумму на 2. - 5 * 2 = 10 8. **Запись нового числа**: Число на доске теперь становится 10. 9. **Процесс для 10**: Теперь выполним аналогичные шаги для числа 10. - Цифры: 1 и 0 - Сумма: 1 + 0 = 1 - Умножение на 2: 1 * 2 = 2 10. **Запись нового числа**: Число на доске теперь 2. 11. **Процесс для 2**: Теперь сделаем то же для числа 2. - Сумы его цифр: 2 - Умножение на 2: 2 * 2 = 4 12. **Запись нового числа**: Число на доске 4. 13. **Процесс для 4**: Теперь мы сделаем это для числа 4. - Сумма цифр: 4 - Умножение на 2: 4 * 2 = 8 14. **Запись нового числа**: Теперь число на доске 8. 15. **Процесс для 8**: Далее для числа 8. - Сумма цифр: 8 - Умножение на 2: 8 * 2 = 16 16. **Запись нового числа**: Число на доске 16. 17. **Процесс для 16**: Теперь для числа 16. - Сумма: 1 + 6 = 7 - Умножение на 2: 7 * 2 = 14 18. **Запись нового числа**: Мы вернулись к 14. Теперь нам нужно выяснить, сколько раз было написано число 14. **Повторения**: - Мы начали с 25, получили 14, и после замены числа на 14, произошло: - 14 → 10 → 2 → 4 → 8 → 16 → 14. Следовательно, число 14 оказывается на доске каждые 7 итераций. Теперь, учитывая, что мимо доски прошло 1000 человек, каждый из которых выполняет данную операцию, давайте посчитаем, как часто у нас появляется 14. 1. Каждые 6 итераций (после первого появления 14) число 14 вновь появляется на доске. 2. Начальное появление 14 считается первым, следовательно, мы имеем: - 1 начальное + 999 (прохождения) / 6 = 166 повторений. Таким образом, **число 14 появлялось на доске 167 раз**.