На доске написано число 25 . Каждый, кто проходит мимо доски, делает следующее: считает сумму цифр числа, умножает её на 2 и записывает полученное число взамен старого. Мимо доски…

Давайте решим задачу шаг за шагом.

1. Начальное число: У нас есть число 25 на доске.

2. Сумма цифр: Сначала найдем сумму цифр числа 25.

   • Цифры: 2 и 5
   • Сумма: 2 + 5 = 7

3. Умножение на 2: Теперь умножим эту сумму на 2.

   • 7 * 2 = 14

4. Запись нового числа: Следовательно, первое число на доске будет заменено на 14.

5. Новый цикл: Теперь рассмотрим, что произойдет дальше. Мы должны повторить тот же процесс для числа 14.

6. Сумма цифр для 14: Найдем сумму цифр числа 14.

   • Цифры: 1 и 4
   • Сумма: 1 + 4 = 5

7. Умножение на 2: Теперь умножим эту сумму на 2.

   • 5 * 2 = 10

8. Запись нового числа: Число на доске теперь становится 10.

9. Процесс для 10: Теперь выполним аналогичные шаги для числа 10.

   • Цифры: 1 и 0
   • Сумма: 1 + 0 = 1
   • Умножение на 2: 1 * 2 = 2

10. Запись нового числа: Число на доске теперь 2.

11. Процесс для 2: Теперь сделаем то же для числа 2.

    • Сумы его цифр: 2
    • Умножение на 2: 2 * 2 = 4

12. Запись нового числа: Число на доске 4.

13. Процесс для 4: Теперь мы сделаем это для числа 4.

    • Сумма цифр: 4
    • Умножение на 2: 4 * 2 = 8

14. Запись нового числа: Теперь число на доске 8.

15. Процесс для 8: Далее для числа 8.

    • Сумма цифр: 8
    • Умножение на 2: 8 * 2 = 16

16. Запись нового числа: Число на доске 16.

17. Процесс для 16: Теперь для числа 16.

    • Сумма: 1 + 6 = 7
    • Умножение на 2: 7 * 2 = 14

18. Запись нового числа: Мы вернулись к 14.

Теперь нам нужно выяснить, сколько раз было написано число 14.

Повторения:

• Мы начали с 25, получили 14, и после замены числа на 14, произошло:
  • 14 → 10 → 2 → 4 → 8 → 16 → 14.

Следовательно, число 14 оказывается на доске каждые 7 итераций.

Теперь, учитывая, что мимо доски прошло 1000 человек, каждый из которых выполняет данную операцию, давайте посчитаем, как часто у нас появляется 14.

1. Каждые 6 итераций (после первого появления 14) число 14 вновь появляется на доске.
2. Начальное появление 14 считается первым, следовательно, мы имеем:
   • 1 начальное + 999 (прохождения) / 6 = 166 повторений.

Таким образом, число 14 появлялось на доске 167 раз.