Реши уравнение ( x − 3 )^4− 8 ( x − 3 )^− 9 = 0
Чтобы решить уравнение \((x - 3)^4 - 8(x - 3)^{-9} = 0\), начнем с замены переменной, чтобы упростить выражение.
Замена переменной: Обозначим \(y = (x - 3)\). Тогда уравнение можно записать как: \[ y^4 - 8y^{-9} = 0. \]
Умножим обе стороны на \(y^9\) (предполагая, что \(y \neq 0\)), чтобы избавиться от дроби: \[ y^4 \cdot y^9 - 8 = 0, \] что упрощается до: \[ y^{13} - 8 = 0. \]
Решение уравнения: Теперь, чтобы найти значение \(y\), добавим 8 к обеим сторонам: \[ y^{13} = 8. \] Теперь извлечем корень 13-й степени: \[ y = 8^{1/13}. \]
Вернемся к исходной переменной: Напомним, что мы обозначали \(y = (x - 3)\). Подставим обратно: \[ x - 3 = 8^{1/13}. \]
Решим для \(x\): Добавим 3 к обеим сторонам уравнения: \[ x = 8^{1/13} + 3. \]
Запишем окончательный ответ: \[ x = 3 + 8^{1/13}. \]
Это решение показывает, что мы можем использовать замену переменной, чтобы упростить уравнения с возведением в степень и дробями. Таким образом, мы эффективно пришли к искомому значению \(x\).
