Найди вероятность того, что шестёрка выпадет ровно два раза, если игральную кость бросают 5 раз. (Ответ округли до десятитысячных.)
Чтобы найти вероятность того, что шестёрка выпадет ровно два раза при броске игральной кости 5 раз, мы можем использовать формулу биномиального распределения.
Формула биномиального распределения:
Вероятность того, что событие произойдёт ровно \( k \) раз в \( n \) испытаниях, выражается как: \[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \] где:
- \( P(X = k) \) — вероятность того, что событие произойдёт ровно \( k \) раз,
- \( n \) — общее количество испытаний (в нашем случае 5 бросков),
- \( k \) — количество успехов (в нашем случае 2, то есть два раза выпала шестёрка),
- \( p \) — вероятность успеха в одном испытании (для шестёрки на игральной кости \( p = \frac{1}{6} \)),
- \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, определяющий количество способов выбрать \( k \) успехов из \( n \) испытаний и вычисляется по формуле: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} \]
Параметры для нашей задачи:
- \( n = 5 \) (количество бросков),
- \( k = 2 \) (число раз, когда выпала шестёрка),
- \( p = \frac{1}{6} \) (вероятность выпадения шестёрки).
Шаги решения:
Найдём биномиальный коэффициент \( C(5, 2) \): \[ C(5, 2) = \frac{5!}{2! \cdot (5 - 2)!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10 \]
Вычислим \( p^k \): \[ p^2 = \left(\frac{1}{6}\right)^2 = \frac{1}{36} \]
Вычислим \( (1 - p)^{n - k} \): \[ 1 - p = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \] \[ (1 - p)^{5 - 2} = \left(\frac{5}{6}\right)^3 = \frac{125}{216} \]
Теперь подставим всё в формулу: \[ P(X = 2) = C(5, 2) \cdot p^2 \cdot (1 - p)^{5 - 2} = 10 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{125}{216} \]
Выполним вычисления: \[ P(X = 2) = 10 \cdot \frac{125}{7776} \] \[ P(X = 2) = \frac{1250}{7776} \]
Округлим до десяти тысячных: Выполнив деление, мы получаем: \[ \frac{1250}{7776} \approx 0.1608 \]
Ответ:
Вероятность того, что шестёрка выпадет ровно два раза при 5 бросках кости, составляет приблизительно 0.1608.
