Для углов треугольника АВС верны равенства sin <A+ cos <B = V2 И cos <A+ sin <B = V2. Тогда угол С треугольника будет равен ...

Для решения задачи, в которой даны равенства для углов треугольника \( A \), \( B \) и \( C \), и требуется найти угол \( C \), начнем с анализа данных уравнений.

Дано:

1. \( \sin A + \cos B = \sqrt{2} \)
2. \( \cos A + \sin B = \sqrt{2} \)

Необходимо найти: угол \( C \) треугольника.

Шаг 1: Поиск связей

Мы начнем с того, что для любого треугольника выполняется следующее уравнение: \[ A + B + C = 180^\circ. \] Отсюда мы можем выразить угол \( C \): \[ C = 180^\circ - A - B. \]

Шаг 2: Использование тригонометрических преобразований

Для более глубокого анализа уравнений, отметим, что \( \sqrt{2} \) — это максимальное значение для \( \sin \) и \( \cos \) вместе, которое достигается при углах \( 45^\circ \) (или \( \pi/4 \) радиан).

При этом:

• \( \sin A \) может быть равно \( \cos(45^\circ - A) \).
• Подобным образом возможны преобразования для угла \( B \).

Шаг 3: Найдем возможные angles

Пусть \(\sin A = \cos B\) и \(\cos A = \sin B\):

1. Из первого уравнения \( \sin A + \cos B = \sqrt{2} \) получаем: \[ \sin A = \cos B. \]
2. Из второго уравнения \( \cos A + \sin B = \sqrt{2} \) получаем: \[ \cos A = \sin B. \]

После этого можно вывести, что \( A \) и \( B \) могут быть равны \( 45^\circ \) при соблюдении равенства \(\sin(45^\circ) = \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\).

Шаг 4: Вычисление угла C

Если \( A = B = 45^\circ \): \[ C = 180^\circ - 45^\circ - 45^\circ = 90^\circ. \]

Ответ

Таким образом, угол \( C \) треугольника \( ABC \) равен \( 90^\circ \).