Треугольник ABC с прямым углом C вписана окружность, радиус которой равен 2. Найдите площадь треугольника ABC, если AB = 23

Для решения задачи найдем площадь треугольника ABC с прямым углом C и вписанной окружностью радиуса 2, при условии что длина стороны AB равна 23. 1. **Определим формулы и обозначения:** - В прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности \( r \) можно выразить через стороны треугольника (где \( a \) и \( b \) — катеты, \( c \) — гипотенуза): \[ r = \frac{a + b - c}{2} \] - Площадь треугольника \( S \) можно найти через радиус вписанной окружности и полупериметр: \[ S = r \cdot p \] где \( p \) — полупериметр треугольника и равен: \[ p = \frac{a + b + c}{2} \] 2. **Известные данные:** - Радиус окружности \( r = 2 \) - Гипотенуза \( c = AB = 23 \) 3. **Подставим известные значения в формулу для радиуса:** \[ 2 = \frac{a + b - 23}{2} \] Умножим обе стороны на 2: \[ 4 = a + b - 23 \] Перепишем уравнение: \[ a + b = 27 \] 4. **Теперь найдем полупериметр \( p \):** \[ p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{27 + 23}{2} = \frac{50}{2} = 25 \] 5. **Теперь можем найти площадь \( S \) треугольника:** \[ S = r \cdot p = 2 \cdot 25 = 50 \] Таким образом, площадь треугольника ABC равна 50 квадратным единицам.