Для решения данной системы уравнений и исключения одной из переменных, мы можем упростить систему, умножив одно из уравнений на такое число, чтобы коэффициенты одной из переменных совпадали. В данной системе мы имеем:
- ( x + 3y = 1 ) (уравнение 1)
- ( -4x + 2y = 5 ) (уравнение 2)
Давайте попробуем исключить переменную ( x ). Для этого умножим первое уравнение на 4:
[
4(x + 3y) = 4 \cdot 1
]
Это даст нам:
[
4x + 12y = 4 \quad (уравнение 3)
]
Теперь у нас есть:
- ( 4x + 12y = 4 ) (уравнение 3)
- ( -4x + 2y = 5 ) (уравнение 2)
Теперь сложим уравнение 3 и уравнение 2, чтобы исключить ( x ):
[
(4x + 12y) + (-4x + 2y) = 4 + 5
]
Сложив, мы получаем:
[
(4x - 4x) + (12y + 2y) = 9
]
Это упрощается до:
[
0 + 14y = 9
]
Теперь мы можем решить это уравнение для ( y ):
[
14y = 9
]
Делим обе стороны на 14:
[
y = \frac{9}{14}
]
Теперь, когда мы нашли значение ( y ), подставим его обратно в одно из оригинальных уравнений, чтобы найти ( x ). Подставим значение ( y ) в первое уравнение:
[
x + 3y = 1
]
Подставим ( y ):
[
x + 3 \cdot \frac{9}{14} = 1
]
Упрощаем:
[
x + \frac{27}{14} = 1
]
Теперь вычтем ( \frac{27}{14} ) из обеих сторон:
[
x = 1 - \frac{27}{14}
]
Чтобы вычесть, приведем 1 к общему знаменателю:
[
x = \frac{14}{14} - \frac{27}{14} = \frac{14 - 27}{14} = \frac{-13}{14}
]
Таким образом, мы получили решение системы:
[
x = \frac{-13}{14}, \quad y = \frac{9}{14}
]
Ответ:
[
x = -\frac{13}{14}, \quad y = \frac{9}{14}
]
Таким образом, мы успешно исключили одну из переменных и решили систему уравнений.
