Для решения задачи о нахождении количества четырёхзначных чисел, которые можно получить из числа 1234, мы можем воспользоваться комбинаторным подходом. Начнем с определения всех возможных перестановок чисел и затем исключим те, где чётные цифры стоят рядом.
Шаг 1: Определим цифры и их категории.
- Чётные цифры: 2, 4
- Нечётные цифры: 1, 3
Шаг 2: Найдём общее количество перестановок цифр 1234.
Так как все цифры различны, количество всех перестановок равно 4! (факториал 4):
[
4! = 24
]
Шаг 3: Теперь необходимо найти перестановки, где чётные цифры стоят рядом.
Для этого будем рассматривать две чётные цифры (2 и 4) как одну "суперцифру". Таким образом, у нас будет 3 "цифры": суперцифра (24 или 42) и две нечётные цифры (1 и 3).
Шаг 4: Найдём количество перестановок с учётом суперцифры.
Количество перестановок 3 "цифр" (суперцифра и 1, 3) будет равно 3!:
[
3! = 6
]
Шаг 5: Учтем порядок чётких цифр в суперцифре.
Для суперцифры (24 или 42) имеется 2 варианта (24 или 42). Таким образом, общее количество перестановок, где чётные цифры стоят рядом, равно:
[
6 \times 2 = 12
]
Шаг 6: Теперь найдем количество перестановок, где чётные цифры не стоят рядом.
Это можно сделать, вычитая количество перестановок, где чётные цифры стоят рядом, из общего количества перестановок:
[
24 - 12 = 12
]
Таким образом, количество четырёхзначных чисел, полученных из числа 1234 перестановкой цифр и где чётные цифры не стоят рядом, равно:
[
\boxed{12}
]
