Сколько существует четырёхзначных чисел, которые получаются из числа 1234 перестановкой цифр и у которых чётные цифры не стоят рядом?
Для решения задачи о нахождении количества четырёхзначных чисел, которые можно получить из числа 1234, мы можем воспользоваться комбинаторным подходом. Начнем с определения всех возможных перестановок чисел и затем исключим те, где чётные цифры стоят рядом.
Шаг 1: Определим цифры и их категории.
- Чётные цифры: 2, 4
- Нечётные цифры: 1, 3
Шаг 2: Найдём общее количество перестановок цифр 1234. Так как все цифры различны, количество всех перестановок равно 4! (факториал 4): \[ 4! = 24 \]
Шаг 3: Теперь необходимо найти перестановки, где чётные цифры стоят рядом. Для этого будем рассматривать две чётные цифры (2 и 4) как одну "суперцифру". Таким образом, у нас будет 3 "цифры": суперцифра (24 или 42) и две нечётные цифры (1 и 3).
Шаг 4: Найдём количество перестановок с учётом суперцифры. Количество перестановок 3 "цифр" (суперцифра и 1, 3) будет равно 3!: \[ 3! = 6 \]
Шаг 5: Учтем порядок чётких цифр в суперцифре. Для суперцифры (24 или 42) имеется 2 варианта (24 или 42). Таким образом, общее количество перестановок, где чётные цифры стоят рядом, равно: \[ 6 \times 2 = 12 \]
Шаг 6: Теперь найдем количество перестановок, где чётные цифры не стоят рядом. Это можно сделать, вычитая количество перестановок, где чётные цифры стоят рядом, из общего количества перестановок: \[ 24 - 12 = 12 \]
Таким образом, количество четырёхзначных чисел, полученных из числа 1234 перестановкой цифр и где чётные цифры не стоят рядом, равно: \[ \boxed{12} \]
