В подобных треугольниках EFK и E1F1K1 известно, что периметр треугольника E1F1K1 = 90 и EF : FK : EK = 6 : 5 : 4. Найти F1K1.

Давайте решим задачу пошагово.

Шаг 1: Понимание задачи

У нас есть подобные треугольники EFK и E1F1K1, и нам известен их периметр, а также соотношение длин сторон первого треугольника. Мы должны найти длину стороны F1K1 во втором треугольнике.

Шаг 2: Соотношение сторон

Мы знаем, что стороны треугольника EFK относятся как:

• EF : FK : EK = 6 : 5 : 4.

Пусть длины сторон треугольника EFK равны:

• EF = 6x,
• FK = 5x,
• EK = 4x.

Шаг 3: Вычисление периметра

Периметр треугольника EFK можно выразить как сумму его сторон: \[ P_{EFK} = EF + FK + EK = 6x + 5x + 4x = 15x. \]

Шаг 4: Периметр второго треугольника

Теперь, учитывая, что периметр треугольника E1F1K1 равен 90, мы можем установить равенство: \[ 15x = 90. \]

Шаг 5: Найдем значение x

Для нахождения x решим уравнение: \[ x = \frac{90}{15} = 6. \]

Шаг 6: Определение длин сторон

Теперь можем найти длины сторон треугольника EFK:

• EF = 6x = 6*6 = 36,
• FK = 5x = 5*6 = 30,
• EK = 4x = 4*6 = 24.

Шаг 7: Поскольку треугольники подобны

Поскольку треугольники EFK и E1F1K1 подобны, стороны E1F1K1 также находятся в тех же пропорциях. Если мы обозначим соответствующие стороны второго треугольника как:

• E1F1 = 36k,
• F1K1 = 30k,
• EK1 = 24k,

где k — коэффициент подобия.

Шаг 8: Вычисление коэффициента подобия

Мы знаем, что общий периметр второго треугольника равен 90, что означает: \[ 36k + 30k + 24k = 90. \] Это упростим до: \[ 90k = 90. \]

Следовательно, \( k = 1 \).

Шаг 9: Находим F1K1

Теперь мы можем вычислить длину F1K1: \[ F1K1 = 30k = 30*1 = 30. \]

Ответ

Таким образом, длина отрезка F1K1 равна 30.