Для решения данной задачи будем использовать распределение Бернулли, так как мы имеем дело с независимыми испытаниями с двумя возможными результатами (попал в цель или нет). Вероятность попадания в цель равна ( p = 0.9 ), а вероятность промаха равна ( q = 1 - p = 0.1 ).
Нам нужно найти вероятность того, что стрелок попадёт в цель не более двух раз из пяти выстрелов. Обозначим количество попаданий как ( X ). Мы ищем ( P(X \leq 2) ).
Используем формулу вероятности для биномиального распределения:
[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k}
]
где:
- ( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} ) — биномиальный коэффициент,
- ( n ) — общее количество испытаний,
- ( k ) — количество успешных испытаний (попаданий).
В нашем случае ( n = 5 ), ( p = 0.9 ), ( q = 0.1 ), и нам нужно вычислить ( P(X = 0) ), ( P(X = 1) ) и ( P(X = 2) ).
Вычислим ( P(X = 0) ):
[
P(X = 0) = C(5, 0) \cdot (0.9)^0 \cdot (0.1)^5 = 1 \cdot 1 \cdot 0.00001 = 0.00001
]
Вычислим ( P(X = 1) ):
[
P(X = 1) = C(5, 1) \cdot (0.9)^1 \cdot (0.1)^4 = 5 \cdot 0.9 \cdot 0.0001 = 0.00045
]
Вычислим ( P(X = 2) ):
[
P(X = 2) = C(5, 2) \cdot (0.9)^2 \cdot (0.1)^3 = 10 \cdot (0.81) \cdot (0.001) = 0.0081
]
Теперь сложим все найденные вероятности, чтобы найти ( P(X \leq 2) ):
[
P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0.00001 + 0.00045 + 0.0081 = 0.00856
]
Теперь округлим ответ до сотых:
[
P(X \leq 2) \approx 0.01
]
Таким образом, вероятность того, что стрелок попадёт в цель не более двух раз из пяти выстрелов, составляет 0.01.
