Стрелок попадает в цель с вероятностью 0,9. Какова вероятность, что из пяти выстрелов он попадёт в цель не более двух раз? Решение подробно. Ответ округлите до сотых.
Для решения данной задачи будем использовать распределение Бернулли, так как мы имеем дело с независимыми испытаниями с двумя возможными результатами (попал в цель или нет). Вероятность попадания в цель равна \( p = 0.9 \), а вероятность промаха равна \( q = 1 - p = 0.1 \).
Нам нужно найти вероятность того, что стрелок попадёт в цель не более двух раз из пяти выстрелов. Обозначим количество попаданий как \( X \). Мы ищем \( P(X \leq 2) \).
Используем формулу вероятности для биномиального распределения:
\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]
где:
- \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) — биномиальный коэффициент,
- \( n \) — общее количество испытаний,
- \( k \) — количество успешных испытаний (попаданий).
В нашем случае \( n = 5 \), \( p = 0.9 \), \( q = 0.1 \), и нам нужно вычислить \( P(X = 0) \), \( P(X = 1) \) и \( P(X = 2) \).
Вычислим \( P(X = 0) \): \[ P(X = 0) = C(5, 0) \cdot (0.9)^0 \cdot (0.1)^5 = 1 \cdot 1 \cdot 0.00001 = 0.00001 \]
Вычислим \( P(X = 1) \): \[ P(X = 1) = C(5, 1) \cdot (0.9)^1 \cdot (0.1)^4 = 5 \cdot 0.9 \cdot 0.0001 = 0.00045 \]
Вычислим \( P(X = 2) \): \[ P(X = 2) = C(5, 2) \cdot (0.9)^2 \cdot (0.1)^3 = 10 \cdot (0.81) \cdot (0.001) = 0.0081 \]
Теперь сложим все найденные вероятности, чтобы найти \( P(X \leq 2) \):
\[ P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0.00001 + 0.00045 + 0.0081 = 0.00856 \]
Теперь округлим ответ до сотых:
\[ P(X \leq 2) \approx 0.01 \]
Таким образом, вероятность того, что стрелок попадёт в цель не более двух раз из пяти выстрелов, составляет 0.01.
