Чтобы решить задачу, начнем с вычисления площади треугольника ( ACB ) и затем найдем площадь параллелограмма ( ABCD ).
1. Площадь треугольника ( ACB )
Для вычисления площади треугольника можно использовать формулу:
[
S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(C)
]
где:
- ( a ) и ( b ) — стороны треугольника, которые образуют угол ( C ),
- ( C ) — угол между этими сторонами.
В нашем случае:
- ( a = AB = 12 ) см,
- ( b = BC = \sqrt{7} ) см,
- угол ( C = \angle DCB = 120^\circ ).
Сначала найдем ( \sin(120^\circ) ). Мы знаем, что:
[
\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}.
]
Теперь подставим значения в формулу для площади:
[
S_{ACB} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot \sqrt{7} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}.
]
Упростим это выражение:
[
S_{ACB} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot \frac{\sqrt{7} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{12 \cdot \sqrt{21}}{4} = 3 \cdot \sqrt{21}.
]
Площадь треугольника ( ACB ) равна ( 3\sqrt{21} ) см².
2. Площадь параллелограмма ( ABCD )
Площадь параллелограмма можно вычислить как удвоенную площадь треугольника, так как он состоит из двух равных треугольников ( ACB ) и ( ADB ):
[
S_{ABCD} = 2 \cdot S_{ACB} = 2 \cdot (3\sqrt{21}) = 6\sqrt{21} \text{ см}².
]
В итоге мы получили:
- Площадь треугольника ( ACB ) равна ( 3\sqrt{21} ) см².
- Площадь параллелограмма ( ABCD ) равна ( 6\sqrt{21} ) см².
Ответ:
- Площадь ( S_{ACB} ): ( 3 \sqrt{21} ) см²
- Площадь ( S_{ABCD} ): ( 6 \sqrt{21} ) см²
При необходимости, можно дать окончательные значения, основываясь на том, что ( \sqrt{21} \approx 4.58 ):
- ( S_{ACB} \approx 13.74 ) см²,
- ( S_{ABCD} \approx 27.48 ) см².
Так что, ответ в простом формате:
- ( S_{ACB} = 3\sqrt{21} ) см²
- ( S_{ABCD} = 6\sqrt{21} ) см².
