Трехзначное число оканчивается цифрой 7. Эту цифру переставили в начало числа. Полученное число оказалось на 234 больше исходного. Найдите исконное число
Обозначим трехзначное число как \( xyz \), где \( x \), \( y \), и \( z \) — это цифры числа. У нас есть условие, что \( z = 7 \), следовательно, исходное число можно записать как \( 100x + 10y + 7 \).
При перестановке цифры 7 в начало числа мы получаем новое число \( 700 + 10x + y \).
Согласно условию задачи, новое число на 234 больше исходного:
\[ 700 + 10x + y = (100x + 10y + 7) + 234 \]
Упрощаем уравнение:
\[ 700 + 10x + y = 100x + 10y + 241 \]
Переносим все элементы на одну сторону уравнения:
\[ 700 + 10x + y - 100x - 10y - 241 = 0 \]
Собираем подобные члены:
\[ 700 - 241 + 10x - 100x + y - 10y = 0 \]
Это упрощается до:
\[ 459 - 90x - 9y = 0 \]
Далее делим все на 9:
\[ 51 - 10x - y = 0 \]
Или:
\[ y = 51 - 10x \]
Теперь необходимо найти такие \( x \) и \( y \), чтобы они были цифрами (то есть \( x \) от 1 до 9, а \( y \) от 0 до 9).
- \( x = 1 \): \( y = 51 - 10 \cdot 1 = 41 \) (не подходит)
- \( x = 2 \): \( y = 51 - 10 \cdot 2 = 31 \) (не подходит)
- \( x = 3 \): \( y = 51 - 10 \cdot 3 = 21 \) (не подходит)
- \( x = 4 \): \( y = 51 - 10 \cdot 4 = 11 \) (не подходит)
- \( x = 5 \): \( y = 51 - 10 \cdot 5 = 1 \) (подходит)
Таким образом, \( x = 5 \) и \( y = 1 \).
Теперь можем записать исходное число:
\[ xyz = 517 \]
Проверим условие задачи:
После перестановки 7 в начало, число становится 751.
Теперь проверим разность:
\[ 751 - 517 = 234 \]
Условие выполняется. Таким образом, исконное число:
\[ \boxed{517} \]
