Обозначим трехзначное число как ( xyz ), где ( x ), ( y ), и ( z ) — это цифры числа. У нас есть условие, что ( z = 7 ), следовательно, исходное число можно записать как ( 100x + 10y + 7 ).
При перестановке цифры 7 в начало числа мы получаем новое число ( 700 + 10x + y ).
Согласно условию задачи, новое число на 234 больше исходного:
[
700 + 10x + y = (100x + 10y + 7) + 234
]
Упрощаем уравнение:
[
700 + 10x + y = 100x + 10y + 241
]
Переносим все элементы на одну сторону уравнения:
[
700 + 10x + y - 100x - 10y - 241 = 0
]
Собираем подобные члены:
[
700 - 241 + 10x - 100x + y - 10y = 0
]
Это упрощается до:
[
459 - 90x - 9y = 0
]
Далее делим все на 9:
[
51 - 10x - y = 0
]
Или:
[
y = 51 - 10x
]
Теперь необходимо найти такие ( x ) и ( y ), чтобы они были цифрами (то есть ( x ) от 1 до 9, а ( y ) от 0 до 9).
- ( x = 1 ): ( y = 51 - 10 \cdot 1 = 41 ) (не подходит)
- ( x = 2 ): ( y = 51 - 10 \cdot 2 = 31 ) (не подходит)
- ( x = 3 ): ( y = 51 - 10 \cdot 3 = 21 ) (не подходит)
- ( x = 4 ): ( y = 51 - 10 \cdot 4 = 11 ) (не подходит)
- ( x = 5 ): ( y = 51 - 10 \cdot 5 = 1 ) (подходит)
Таким образом, ( x = 5 ) и ( y = 1 ).
Теперь можем записать исходное число:
[
xyz = 517
]
Проверим условие задачи:
После перестановки 7 в начало, число становится 751.
Теперь проверим разность:
[
751 - 517 = 234
]
Условие выполняется. Таким образом, исконное число:
[
\boxed{517}
]
