Реши

Чтобы найти значение выражения \(\sqrt{38 - 10\sqrt{13}} + \sqrt{13}\), воспользуемся методом выделения полного квадрата. 1. Обозначим: \[ x = \sqrt{38 - 10\sqrt{13}} \] 2. Предположим, что подкоренное выражение можно представить в виде: \[ (a - b\sqrt{13})^2 = a^2 + 13b^2 - 2ab\sqrt{13} \] 3. Сравним выражения: \[ a^2 + 13b^2 = 38, \quad -2ab = -10 \] 4. Из уравнения \(-2ab = -10\): \[ ab = 5 \] \[ b = \frac{5}{a} \] 5. Подставим \(b = \frac{5}{a}\) во второе уравнение: \[ a^2 + 13\left(\frac{5}{a}\right)^2 = 38 \] \[ a^2 + \frac{325}{a^2} = 38 \] 6. Умножим всё уравнение на \(a^2\), чтобы избавиться от дроби: \[ a^4 - 38a^2 + 325 = 0 \] 7. Это квадратное уравнение, где \(u = a^2\). Уравнение принимает вид: \[ u^2 - 38u + 325 = 0 \] 8. Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант: \[ D = 38^2 - 4 \cdot 1 \cdot 325 = 144 \] 9. Корни уравнения: \[ u_{1,2} = \frac{38 \pm \sqrt{144}}{2} \] \[ u_{1,2} = \frac{38 \pm 12}{2} \] \[ u_1 = \frac{50}{2} = 25, \quad u_2 = \frac{26}{2} = 13 \] 10. Поскольку \(u = a^2\), находим \(a\): \[ a = \sqrt{25} = 5 \quad \text{или} \quad a = \sqrt{13} \] 11. С учетом \(ab = 5\), если \(a = 5\), то \(b = 1\), а если \(a = \sqrt{13}\), то \(b = \frac{5}{\sqrt{13}}\). 12. Для \(a = 5\) и \(b = 1\), выражение равно: \[ \sqrt{38 - 10\sqrt{13}} = 5 - \sqrt{13} \] 13. Тогда: \[ \sqrt{38 - 10\sqrt{13}} + \sqrt{13} = (5 - \sqrt{13}) + \sqrt{13} = 5 \] Таким образом, значение выражения равно 5.