Реши
Чтобы найти значение выражения \(\sqrt{38 - 10\sqrt{13}} + \sqrt{13}\), воспользуемся методом выделения полного квадрата.
Обозначим:
\[ x = \sqrt{38 - 10\sqrt{13}} \]
Предположим, что подкоренное выражение можно представить в виде:
\[ (a - b\sqrt{13})^2 = a^2 + 13b^2 - 2ab\sqrt{13} \]
Сравним выражения:
\[ a^2 + 13b^2 = 38, \quad -2ab = -10 \]
Из уравнения \(-2ab = -10\):
\[ ab = 5 \] \[ b = \frac{5}{a} \]
Подставим \(b = \frac{5}{a}\) во второе уравнение:
\[ a^2 + 13\left(\frac{5}{a}\right)^2 = 38 \]
\[ a^2 + \frac{325}{a^2} = 38 \]
Умножим всё уравнение на \(a^2\), чтобы избавиться от дроби:
\[ a^4 - 38a^2 + 325 = 0 \]
Это квадратное уравнение, где \(u = a^2\). Уравнение принимает вид:
\[ u^2 - 38u + 325 = 0 \]
Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
\[ D = 38^2 - 4 \cdot 1 \cdot 325 = 144 \]
Корни уравнения:
\[ u_{1,2} = \frac{38 \pm \sqrt{144}}{2} \]
\[ u_{1,2} = \frac{38 \pm 12}{2} \]
\[ u_1 = \frac{50}{2} = 25, \quad u_2 = \frac{26}{2} = 13 \]
Поскольку \(u = a^2\), находим \(a\):
\[ a = \sqrt{25} = 5 \quad \text{или} \quad a = \sqrt{13} \]
С учетом \(ab = 5\), если \(a = 5\), то \(b = 1\), а если \(a = \sqrt{13}\), то \(b = \frac{5}{\sqrt{13}}\).
Для \(a = 5\) и \(b = 1\), выражение равно:
\[ \sqrt{38 - 10\sqrt{13}} = 5 - \sqrt{13} \]
Тогда:
\[ \sqrt{38 - 10\sqrt{13}} + \sqrt{13} = (5 - \sqrt{13}) + \sqrt{13} = 5 \]
Таким образом, значение выражения равно 5.
