Для решения задачи нам необходимо использовать тригонометрические идентичности. Мы знаем, что синус и косинус угла связаны между собой с помощью следующего соотношения:
[
\sin^2 A + \cos^2 A = 1
]
Дано значение синуса острого угла A:
[
\sin A = \frac{2\sqrt{6}}{5}
]
Шаг 1: Найдем квадрат синуса:
[
\sin^2 A = \left(\frac{2\sqrt{6}}{5}\right)^2 = \frac{4 \cdot 6}{25} = \frac{24}{25}
]
Шаг 2: Подставим значение (\sin^2 A) в трегонометрическую идентичность:
[
\sin^2 A + \cos^2 A = 1
]
Это можно записать как:
[
\frac{24}{25} + \cos^2 A = 1
]
Шаг 3: Упростим уравнение:
[
\cos^2 A = 1 - \frac{24}{25}
]
Чтобы вычесть дробь, приведем 1 к общему знаменателю:
[
1 = \frac{25}{25}
]
Теперь:
[
\cos^2 A = \frac{25}{25} - \frac{24}{25} = \frac{1}{25}
]
Шаг 4: Найдем значение косинуса:
[
\cos A = \sqrt{\frac{1}{25}} = \frac{1}{5}
]
Поскольку угол A острый, мы берем положительное значение.
Ответ: (\cos A = \frac{1}{5})
Таким образом, мы нашли косинус острого угла A в треугольнике ABC.
