В начале года к вам пришел ваш поставщик и сказал, что не сможет поставить материалов на 1 000 000 рублей как вы договаривались в том году, однако вернуть эту сумму поставщик не…
В начале года к вам пришел ваш поставщик и сказал, что не сможет поставить материалов на 1 000 000 рублей как вы договаривались в том году, однако вернуть эту сумму поставщик не может - нет денег. Но у него есть 100 облигаций, которые исполняются (“заканчиваются”) через 5 лет. То есть, в течение следующих 5 лет по каждой облигации в конце года платится 1000, а в конце 5 года дополнительно к 1000 еще и номинал облигации Х рублей. Найдите величину Х при которой вы согласитесь принять эти облигации сейчас вместо 1 000 000 деньгами, если ставка по депозиту 10% и следующие 5 лет не будет меняться. Предполагается капитализация процентов. При необходимости, округлите ответ ДО ДВУХ знаков после запятой.
Давайте решим эту задачу шаг за шагом.
Условия задачи:
- Поставщик не может вернуть 1,000,000 рублей.
- У него есть 100 облигаций, каждая из которых будет приносить 1,000 рублей в конце каждого года в течение 5 лет, а также дополнительный номинал (X) в конце 5-го года.
- Ставка по депозиту составляет 10% с капитализацией.
Цель:
Нам нужно найти величину X, при которой сумма, получаемая от облигаций, будет равна 1,000,000 рублей, дисконтированная по ставке 10%.
Шаг 1: Клиентские потоки от облигаций
Каждая облигация будет приносить:
- 1,000 рублей в конце каждого года (в течение 5 лет)
- Дополнительно X рублей в конце 5-го года
Таким образом, поток денежных средств от одной облигации будет выглядеть так:
- Год 1: 1,000 рублей
- Год 2: 1,000 рублей
- Год 3: 1,000 рублей
- Год 4: 1,000 рублей
- Год 5: 1,000 + X рублей
Шаг 2: Общее значение потоков
Для 100 облигаций:
- Год 1: 100,000 рублей
- Год 2: 100,000 рублей
- Год 3: 100,000 рублей
- Год 4: 100,000 рублей
- Год 5: 100,000 + 100X рублей
Шаг 3: Дисконтирование потоков
Теперь нам нужно дисконтировать каждый из этих потоков по ставке 10%:
Формула для дисконтирования: \[ PV = \frac{FV}{(1 + r)^n} \] где \(PV\) — приведенная стоимость, \(FV\) — будущая стоимость, \(r\) — ставка, \(n\) — количество лет.
Теперь найдем приведенные стоимости всех потоков.
Год 1: \[ PV_1 = \frac{100,000}{(1 + 0.10)^1} = \frac{100,000}{1.10} = 90,909.09 \]
Год 2: \[ PV_2 = \frac{100,000}{(1 + 0.10)^2} = \frac{100,000}{1.21} = 82,644.63 \]
Год 3: \[ PV_3 = \frac{100,000}{(1 + 0.10)^3} = \frac{100,000}{1.331} = 75,131.48 \]
Год 4: \[ PV_4 = \frac{100,000}{(1 + 0.10)^4} = \frac{100,000}{1.4641} = 68,301.35 \]
Год 5: \[ PV_5 = \frac{100,000 + 100X}{(1 + 0.10)^5} = \frac{100,000 + 100X}{1.61051} \]
Шаг 4: Суммируем приведенные стоимости
Теперь суммируем все приведенные стоимости и приравниваем к 1,000,000 рублей:
\[ 90,909.09 + 82,644.63 + 75,131.48 + 68,301.35 + \frac{100,000 + 100X}{1.61051} = 1,000,000 \]
Сложим сначала все известные значения: \[ 90,909.09 + 82,644.63 + 75,131.48 + 68,301.35 = 317,986.55 \]
Теперь подставим это в уравнение: \[ 317,986.55 + \frac{100,000 + 100X}{1.61051} = 1,000,000 \]
Шаг 5: Решаем уравнение
Вычтем 317,986.55 из обеих сторон: \[ \frac{100,000 + 100X}{1.61051} = 1,000,000 - 317,986.55 \] \[ \frac{100,000 + 100X}{1.61051} = 682,013.45 \]
Умножим обе стороны на 1.61051: \[ 100,000 + 100X = 682,013.45 \times 1.61051 \] \[ 100,000 + 100X = 1,098,637.73 \]
Вычтем 100,000: \[ 100X = 1,098,637.73 - 100,000 \] \[ 100X = 998,637.73 \]
Разделим на 100: \[ X = 9,986.38 \]
Ответ:
Величина X, при которой вы согласитесь принять облигации вместо 1,000,000 рублей, составляет 9,986.38 рублей.
