. Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается его сторон в точка М, Н и Р. Найдите углы треугольника МНР, если углы треугольника АВС относятся как 5:6:7.

Для решения задачи начнем с понимания взаимосвязи между углами треугольника ABC и углами треугольника MHP, который образован точками касания вписанной окружности к сторонам треугольника ABC. 1. **Обозначение углов треугольника ABC:** Пусть углы треугольника ABC равны: - \( \angle A = 5x \) - \( \angle B = 6x \) - \( \angle C = 7x \) 2. **Сумма углов треугольника:** Сумма всех углов треугольника равна 180 градусам: \[ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \] Подставим наши обозначения: \[ 5x + 6x + 7x = 180^\circ \] \[ 18x = 180^\circ \] \[ x = 10^\circ \] 3. **Нахождение углов треугольника ABC:** Теперь можем найти углы: - \( \angle A = 5x = 5 \cdot 10^\circ = 50^\circ \) - \( \angle B = 6x = 6 \cdot 10^\circ = 60^\circ \) - \( \angle C = 7x = 7 \cdot 10^\circ = 70^\circ \) 4. **Углы треугольника MHP:** Углы треугольника MHP образуются между касательными к окружности и сторонами треугольника ABC. Свойство углов говорит, что: - \( \angle M = \frac{1}{2} (\angle B + \angle C) \) - \( \angle N = \frac{1}{2} (\angle A + \angle C) \) - \( \angle P = \frac{1}{2} (\angle A + \angle B) \) Подставим найденные углы ABC в формулы для M, N и P: - Угол M: \[ \angle M = \frac{1}{2} (60^\circ + 70^\circ) = \frac{1}{2} (130^\circ) = 65^\circ \] - Угол N: \[ \angle N = \frac{1}{2} (50^\circ + 70^\circ) = \frac{1}{2} (120^\circ) = 60^\circ \] - Угол P: \[ \angle P = \frac{1}{2} (50^\circ + 60^\circ) = \frac{1}{2} (110^\circ) = 55^\circ \] 5. **Итог:** Углы треугольника MHP равны: - \( \angle M = 65^\circ \) - \( \angle N = 60^\circ \) - \( \angle P = 55^\circ \) Таким образом, мы получили все необходимые углы треугольника MHP, а именно \( 65^\circ, 60^\circ \) и \( 55^\circ \).