Дан равносторонний треугольник ABC со стороной AB=4. Найдите скалярное произведение векторов BC и AC.

Чтобы найти скалярное произведение векторов \( \vec{BC} \) и \( \vec{AC} \) в равностороннем треугольнике ABC со стороной \( AB = 4 \), нам нужно сначала определить координаты вершин треугольника.

1. Определим точки треугольника.
   Пусть точка \( A \) находится в начале координат:
   \( A(0, 0) \)
   Затем расположим точку \( B \) по оси \( x \):
   \( B(4, 0) \)
   Чтобы найти координаты точки \( C \), заметим, что треугольник равносторонний, и высота будет делить сторону \( AB \) пополам, создавая прямоугольный треугольник.
   Высота \( h \) равен:
   \[ h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 4 = 2\sqrt{3} \] Точка \( C \) будет находиться на высоте выше середины отрезка \( AB \), т.е. на координатах:
   \( C(2, 2\sqrt{3}) \)

2. Запишем векторы \( \vec{BC} \) и \( \vec{AC} \).
   Вектор \( \vec{BC} \) вычисляется как:
   \[ \vec{BC} = C - B = (2 - 4, 2\sqrt{3} - 0) = (-2, 2\sqrt{3}) \]
   Вектор \( \vec{AC} \) вычисляется как:
   \[ \vec{AC} = C - A = (2 - 0, 2\sqrt{3} - 0) = (2, 2\sqrt{3}) \]

3. Найдем скалярное произведение векторов \( \vec{BC} \) и \( \vec{AC} \).
   Скалярное произведение векторов \( \vec{u} = (u_1, u_2) \) и \( \vec{v} = (v_1, v_2) \) вычисляется по формуле:
   \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 \]
   Применим эту формулу к нашим векторам:
   \[ \vec{BC} \cdot \vec{AC} = (-2)(2) + (2\sqrt{3})(2\sqrt{3}) \]
   Вычислим каждую часть:
   \[ -2 \cdot 2 = -4 \]
   \[ 2\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = 4 \cdot 3 = 12 \]
   Теперь сложим результаты:
   \[ -4 + 12 = 8 \]

Таким образом, скалярное произведение векторов \( \vec{BC} \) и \( \vec{AC} \) равно \( 8 \).