Дан равносторонний треугольник ABC со стороной AB=4. Найдите скалярное произведение векторов BC и AC.

Чтобы найти скалярное произведение векторов \( \vec{BC} \) и \( \vec{AC} \) в равностороннем треугольнике ABC со стороной \( AB = 4 \), нам нужно сначала определить координаты вершин треугольника. 1. **Определим точки треугольника.** Пусть точка \( A \) находится в начале координат: \( A(0, 0) \) Затем расположим точку \( B \) по оси \( x \): \( B(4, 0) \) Чтобы найти координаты точки \( C \), заметим, что треугольник равносторонний, и высота будет делить сторону \( AB \) пополам, создавая прямоугольный треугольник. Высота \( h \) равен: \[ h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 4 = 2\sqrt{3} \] Точка \( C \) будет находиться на высоте выше середины отрезка \( AB \), т.е. на координатах: \( C(2, 2\sqrt{3}) \) 2. **Запишем векторы \( \vec{BC} \) и \( \vec{AC} \).** Вектор \( \vec{BC} \) вычисляется как: \[ \vec{BC} = C - B = (2 - 4, 2\sqrt{3} - 0) = (-2, 2\sqrt{3}) \] Вектор \( \vec{AC} \) вычисляется как: \[ \vec{AC} = C - A = (2 - 0, 2\sqrt{3} - 0) = (2, 2\sqrt{3}) \] 3. **Найдем скалярное произведение векторов \( \vec{BC} \) и \( \vec{AC} \).** Скалярное произведение векторов \( \vec{u} = (u_1, u_2) \) и \( \vec{v} = (v_1, v_2) \) вычисляется по формуле: \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 \] Применим эту формулу к нашим векторам: \[ \vec{BC} \cdot \vec{AC} = (-2)(2) + (2\sqrt{3})(2\sqrt{3}) \] Вычислим каждую часть: \[ -2 \cdot 2 = -4 \] \[ 2\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = 4 \cdot 3 = 12 \] Теперь сложим результаты: \[ -4 + 12 = 8 \] Таким образом, скалярное произведение векторов \( \vec{BC} \) и \( \vec{AC} \) равно \( 8 \).