Докажи, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, найди его площадь, если A(15; 4), B(18; 7), C(16; 9) и D(13; 6). (Доказательство выполни в тетради и самостоятельно…

Чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, а также найти его площадь, следуем пошагово.

Шаг 1: Используем координаты для нахождения длин сторон

Дадим координаты точкам:

• A(15; 4)
• B(18; 7)
• C(16; 9)
• D(13; 6)

Теперь найдем длины сторон AB, BC, CD и DA с использованием формулы расстояния между двумя точками \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\): \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

Длина AB: \[ d_{AB} = \sqrt{(18 - 15)^2 + (7 - 4)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \]

Длина BC: \[ d_{BC} = \sqrt{(16 - 18)^2 + (9 - 7)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \]

Длина CD: \[ d_{CD} = \sqrt{(13 - 16)^2 + (6 - 9)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \]

Длина DA: \[ d_{DA} = \sqrt{(15 - 13)^2 + (4 - 6)^2} = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \]

Шаг 2: Проверим равенство противоположных сторон

Сравняй длины:

• \(d_{AB} = 3\sqrt{2}\) и \(d_{CD} = 3\sqrt{2}\) (равны)
• \(d_{BC} = 2\sqrt{2}\) и \(d_{DA} = 2\sqrt{2}\) (равны)

Противоположные стороны равны, что необходимо для параллелограмма.

Шаг 3: Проверка перпендикулярности сторон

Чтобы доказать, что углы прямые, покажем, что векторы AB и BC перпендикулярны.

Вектор AB: \[ AB = (x_B - x_A, y_B - y_A) = (18 - 15, 7 - 4) = (3, 3) \]

Вектор BC: \[ BC = (x_C - x_B, y_C - y_B) = (16 - 18, 9 - 7) = (-2, 2) \]

Скалярное произведение: \[ AB \cdot BC = 3 \cdot (-2) + 3 \cdot 2 = -6 + 6 = 0 \]

Скалярное произведение равно нулю, значит, векторы AB и BC перпендикулярны. Это значит, что угол ABC прямой. Аналогично можно провести проверку для оставшихся углов (B и C).

Шаг 4: Площадь четырехугольника

Площадь прямоугольника можно найти через формулу: \[ S = a \cdot b \] где \(a\) и \(b\) — длины соседних сторон.

Мы уже знаем:

• \(d_{AB} = 3\sqrt{2}\)
• \(d_{BC} = 2\sqrt{2}\)

Теперь найдем площадь: \[ S = d_{AB} \cdot d_{BC} = (3\sqrt{2}) \cdot (2\sqrt{2}) = 6 \cdot 2 = 12 \]

Ответ:

Таким образом, четырёхугольник ABCD является прямоугольником, и его площадь равна 12.