Чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, а также найти его площадь, следуем пошагово.
Шаг 1: Используем координаты для нахождения длин сторон
Дадим координаты точкам:
- A(15; 4)
- B(18; 7)
- C(16; 9)
- D(13; 6)
Теперь найдем длины сторон AB, BC, CD и DA с использованием формулы расстояния между двумя точками ((x_1, y_1)) и ((x_2, y_2)):
[
d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
]
Длина AB:
[
d_{AB} = \sqrt{(18 - 15)^2 + (7 - 4)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}
]
Длина BC:
[
d_{BC} = \sqrt{(16 - 18)^2 + (9 - 7)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}
]
Длина CD:
[
d_{CD} = \sqrt{(13 - 16)^2 + (6 - 9)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}
]
Длина DA:
[
d_{DA} = \sqrt{(15 - 13)^2 + (4 - 6)^2} = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}
]
Шаг 2: Проверим равенство противоположных сторон
Сравняй длины:
- (d_{AB} = 3\sqrt{2}) и (d_{CD} = 3\sqrt{2}) (равны)
- (d_{BC} = 2\sqrt{2}) и (d_{DA} = 2\sqrt{2}) (равны)
Противоположные стороны равны, что необходимо для параллелограмма.
Шаг 3: Проверка перпендикулярности сторон
Чтобы доказать, что углы прямые, покажем, что векторы AB и BC перпендикулярны.
Вектор AB:
[
AB = (x_B - x_A, y_B - y_A) = (18 - 15, 7 - 4) = (3, 3)
]
Вектор BC:
[
BC = (x_C - x_B, y_C - y_B) = (16 - 18, 9 - 7) = (-2, 2)
]
Скалярное произведение:
[
AB \cdot BC = 3 \cdot (-2) + 3 \cdot 2 = -6 + 6 = 0
]
Скалярное произведение равно нулю, значит, векторы AB и BC перпендикулярны. Это значит, что угол ABC прямой. Аналогично можно провести проверку для оставшихся углов (B и C).
Шаг 4: Площадь четырехугольника
Площадь прямоугольника можно найти через формулу:
[
S = a \cdot b
]
где (a) и (b) — длины соседних сторон.
Мы уже знаем:
- (d_{AB} = 3\sqrt{2})
- (d_{BC} = 2\sqrt{2})
Теперь найдем площадь:
[
S = d_{AB} \cdot d_{BC} = (3\sqrt{2}) \cdot (2\sqrt{2}) = 6 \cdot 2 = 12
]
Ответ:
Таким образом, четырёхугольник ABCD является прямоугольником, и его площадь равна 12.
