Бодрящий эффект, который оказывает кофе, объясняется действием входящего в его состав химического вещества — кофеина. Для приготовления холодного…
Бодрящий эффект, который оказывает кофе, объясняется действием входящего в его состав химического вещества — кофеина. Для приготовления холодного кофе со льдом — «фраппе» — в чашку налили кипящий кофе массой m1 = 300 г при температуре t1 = 100 °C и добавили туда лёд при температуре t0 = 0 °C. Когда лёд растаял, оказалось, что температура получившегося напитка t2 = 35 °C. Теплообменом напитка с окружающей средой и чашкой можно пренебречь. Удельные теплоёмкости воды и напитка одинаковы и равны с = 4200 Дж/(кг · °C), удельная теплота плавления льда λ = 330 кДж/кг. 3) Во сколько раз уменьшилась концентрация кофеина в напитке? Концентрация кофеина — это отношение массы кофеина к массе всего напитка. Полученный ответ округлить до десятых долей
Чтобы решить задачу, нам необходимо понять, как теплообмен между горячим кофе, льдом и конечным напитком влияет на концентрацию кофеина. Мы начнем с определения изменений температуры и масс, чтобы вычислить новую концентрацию кофеина. Давайте разберем шаги.
Данные задачи
- Масса горячего кофе (\(m_1\)) = 300 г = 0.3 кг
- Температура горячего кофе (\(t_1\)) = 100 °C
- Температура льда (\(t_0\)) = 0 °C
- Конечная температура напитка (\(t_2\)) = 35 °C
- Удельная теплоемкость (\(c\)) = 4200 Дж/(кг·°C)
- Удельная теплота плавления льда (\(λ\)) = 330 кДж/кг = 330000 Дж/кг
1. Вычисление количества теплоты, переданного от кофе к льду
Когда горячий кофе охлаждается с 100 °C до 35 °C, он отдает тепло:
\[ Q_{от} = m_1 \cdot c \cdot (t_1 - t_2) \]
Подставляем известные значения:
\[ Q_{от} = 0.3 \cdot 4200 \cdot (100 - 35) \] \[ Q_{от} = 0.3 \cdot 4200 \cdot 65 \] \[ Q_{от} = 0.3 \cdot 4200 \cdot 65 = 0.3 \cdot 273000 = 81900 \, \text{Дж} \]
2. Вычисление количества теплоты, необходимого для плавления льда и нагревания воды
Лед сначала плавит, и затем полученная вода нагревается до 35 °C.
Пусть \(m_0\) — масса льда, который растаял. Количество теплоты, необходимое для плавления льда:
\[ Q_{при} = m_0 \cdot λ \]
Затем эта масса воды нагревается от 0 °C до 35 °C:
\[ Q_{нагрев} = m_0 \cdot c \cdot (t_2 - t_0) \] \[ Q_{нагрев} = m_0 \cdot 4200 \cdot (35 - 0) = m_0 \cdot 4200 \cdot 35 \] \[ Q_{нагрев} = m_0 \cdot 147000 \]
Теперь, общее количество теплоты для льда:
\[ Q_{при} + Q_{нагрев} = m_0 \cdot λ + m_0 \cdot 147000 = m_0 \cdot (330000 + 147000) \] \[ Q_{при} + Q_{нагрев} = m_0 \cdot 477000 \]
3. Установим уравнение теплового баланса
По закону сохранения энергии теплота, отдаваемая кофе, равна теплота, получаемая льдом:
\[ Q_{от} = Q_{при} + Q_{нагрев} \]
Подставим выражения:
\[ 81900 = m_0 \cdot 477000 \]
Теперь выражаем массу льда (\(m_0\)):
\[ m_0 = \frac{81900}{477000} \approx 0.1718 \, \text{кг} = 171.8 \, \text{г} \]
4. Находим массу всего напитка
Общая масса полученного напитка:
\[ m = m_1 + m_0 = 300 \, \text{г} + 171.8 \, \text{г} = 471.8 \, \text{г} \]
5. Определим изменение концентрации кофеина
Концентрация кофеина в горячем кофе до добавления льда:
\[ \text{Концентрация}_{\text{нач}} = \frac{m_{к}}{m_1} \]
После добавления льда, концентрация кофеина:
\[ \text{Концентрация}_{\text{кон}} = \frac{m_{к}}{m} \]
Где \(m_{к}\) — масса кофеина, которая изначально содержится в 300 г кофе. Так как мы не знаем массу кофеина, обозначим ее как \(m_{к}\).
Как только мы рассчитаем, как изменяется концентрация:
\[ \frac{\text{Концентрация}_{\text{нач}}}{\text{Концентрация}_{\text{кон}}} = \frac{\frac{m_{к}}{m_1}}{\frac{m_{к}}{m}} = \frac{m}{m_1} = \frac{471.8}{300} \approx 1.5727 \]
6. Ответ
В результате, во сколько раз уменьшилась концентрация кофеина в напитке:
\[ \text{Концентрация уменьшается в} \approx 1.6 \text{ раз}. \]
Таким образом, концентрация кофеина уменьшилась приблизительно в 1.6 раз.
