Для решения задачи, давайте сначала разберем, что нам нужно сделать. У нас есть 10 различных марок и 6 пронумерованных мест, куда мы можем приклеить 3 из этих марок.
Шаг 1: Выбор марок
Сначала мы должны выбрать 3 марки из 10. Поскольку марки различны, мы используем формулу сочетаний, которая позволяет выбрать ( k ) элементов из ( n ) без учета порядка:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!}
]
Где ( C(n, k) ) — это число способов выбрать ( k ) элементов из ( n ), а ( ! ) обозначает факториал.
В нашем случае:
- ( n = 10 ) (всего марок)
- ( k = 3 ) (количество марок, которые мы выбираем)
Поэтому:
[
C(10, 3) = \frac{10!}{3!(10 - 3)!} = \frac{10!}{3! \cdot 7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120
]
Шаг 2: Расположение сформированных марок
Теперь, когда мы выбрали 3 марки, нам нужно разместить их на 6 пронумерованных местах. При размещении важно, что порядок размещения имеет значение — это перестановка.
Здесь мы можем выбрать 3 места из 6 и разместить наши марки. Количество способов выбрать 3 мест из 6 можно также использовать формулу сочетаний:
[
C(6, 3) = \frac{6!}{3!(6 - 3)!} = \frac{6!}{3! \cdot 3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20
]
После выбора 3 мест, нам нужно разместить 3 марки на них, что можно сделать 3! (факториал 3) способами:
[
3! = 6
]
Шаг 3: Общее количество способов
Теперь нам нужно умножить число способов выбрать марки на способы выбрать места и расставить марки:
[
\text{Общее количество способов} = C(10, 3) \times C(6, 3) \times 3! = 120 \times 20 \times 6
]
Подсчет
Теперь просто посчитаем:
[
120 \times 20 = 2400
]
[
2400 \times 6 = 14400
]
Таким образом, общее количество способов, которыми филателист может наклеить 3 марки на 6 пронумерованных мест, составляет 14400.
