У филателиста 10 различных марок. Сколькими способами он может наклеить 3 марки на 6 пронумерованных мест?

Для решения задачи, давайте сначала разберем, что нам нужно сделать. У нас есть 10 различных марок и 6 пронумерованных мест, куда мы можем приклеить 3 из этих марок.

Шаг 1: Выбор марок

Сначала мы должны выбрать 3 марки из 10. Поскольку марки различны, мы используем формулу сочетаний, которая позволяет выбрать \( k \) элементов из \( n \) без учета порядка:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!} \]

Где \( C(n, k) \) — это число способов выбрать \( k \) элементов из \( n \), а \( ! \) обозначает факториал.

В нашем случае:

• \( n = 10 \) (всего марок)
• \( k = 3 \) (количество марок, которые мы выбираем)

Поэтому:

\[ C(10, 3) = \frac{10!}{3!(10 - 3)!} = \frac{10!}{3! \cdot 7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120 \]

Шаг 2: Расположение сформированных марок

Теперь, когда мы выбрали 3 марки, нам нужно разместить их на 6 пронумерованных местах. При размещении важно, что порядок размещения имеет значение — это перестановка.

Здесь мы можем выбрать 3 места из 6 и разместить наши марки. Количество способов выбрать 3 мест из 6 можно также использовать формулу сочетаний:

\[ C(6, 3) = \frac{6!}{3!(6 - 3)!} = \frac{6!}{3! \cdot 3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20 \]

После выбора 3 мест, нам нужно разместить 3 марки на них, что можно сделать 3! (факториал 3) способами:

\[ 3! = 6 \]

Шаг 3: Общее количество способов

Теперь нам нужно умножить число способов выбрать марки на способы выбрать места и расставить марки:

\[ \text{Общее количество способов} = C(10, 3) \times C(6, 3) \times 3! = 120 \times 20 \times 6 \]

Подсчет

Теперь просто посчитаем:

\[ 120 \times 20 = 2400 \]

\[ 2400 \times 6 = 14400 \]

Таким образом, общее количество способов, которыми филателист может наклеить 3 марки на 6 пронумерованных мест, составляет 14400.