Случайная величина X может принимать два возможных значения х1 с вероятностью 0,4 и х2 с вероятностью 0,6, причем х1> x2. Найти х1 и х2, зная, что М (Х) = 3,4 и D (X) = 0,24.
Для решения данной задачи мы будем использовать свойства математического ожидания и дисперсии случайной величины.
Дано:
- Случайная величина \( X \) принимает два значения: \( x_1 \) с вероятностью \( P(X = x_1) = 0.4 \) и \( x_2 \) с вероятностью \( P(X = x_2) = 0.6 \).
- Известны: математическое ожидание \( M(X) = 3.4 \) и дисперсия \( D(X) = 0.24 \).
1. Математическое ожидание
Формула для математического ожидания двухзначной случайной величины выглядит так:
\[ M(X) = x_1 \cdot P(X = x_1) + x_2 \cdot P(X = x_2) \]
Подставим известные значения вероятностей:
\[ 3.4 = x_1 \cdot 0.4 + x_2 \cdot 0.6 \]
2. Дисперсия
Дисперсия случайной величины определяется по формуле:
\[ D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 \]
Сначала найдем \( M(X^2) \):
Формула для \( M(X^2) \):
\[ M(X^2) = x_1^2 \cdot P(X = x_1) + x_2^2 \cdot P(X = x_2) \]
Тогда:
\[ 0.24 = M(X^2) - (3.4)^2 \]
Выражаем \( M(X^2) \):
Сначала посчитаем \( (3.4)^2 \):
\[ (3.4)^2 = 11.56 \]
Теперь подставим это значение в уравнение для дисперсии:
\[ M(X^2) = 0.24 + 11.56 = 11.8 \]
Теперь подставим эту формулу в выражение для \( M(X^2) \):
\[ M(X^2) = x_1^2 \cdot 0.4 + x_2^2 \cdot 0.6 \]
У нас есть две системы уравнений:
- \( 0.4x_1 + 0.6x_2 = 3.4 \)
- \( 0.4x_1^2 + 0.6x_2^2 = 11.8 \)
Система уравнений
Решим первое уравнение относительно \( x_2 \):
\[ 0.6x_2 = 3.4 - 0.4x_1 \\ x_2 = \frac{3.4 - 0.4x_1}{0.6} \\ x_2 = \frac{3.4}{0.6} - \frac{0.4}{0.6}x_1 \\ x_2 = \frac{17}{3} - \frac{2}{3}x_1 \]
Теперь подставим \( x_2 \) во второе уравнение:
\[ 0.4x_1^2 + 0.6\left( \frac{17}{3} - \frac{2}{3}x_1 \right)^2 = 11.8 \]
Раскроем скобки и упростим уравнение
Т. е. сначала найдём квадрат:
\[ \left( \frac{17}{3} - \frac{2}{3}x_1 \right)^2 = \left( \frac{289}{9} - \frac{68}{9}x_1 + \frac{4}{9}x_1^2 \right) \]
Теперь запишем:
\[ 0.4x_1^2 + 0.6 \cdot \frac{289 - 68x_1 + 4x_1^2}{9} = 11.8 \]
Умножим всё на 9:
\[ 3.6x_1^2 + 173.4 - 40.8x_1 + 2.4x_1^2 = 106.2\\ (6x_1^2 - 40.8x_1 + 67.2 = 0) \]
Решим квадратное уравнение
Решаем по формуле:
\[ D = b^2 - 4ac = (-40.8)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 67.2 \] \[ D = 1664.64 - 1617.6 = 47.04 \]
Корни будут:
\[ x_1 = \frac{40.8 \pm \sqrt{D}}{2 \cdot 6} \]
Находим \( \sqrt{47.04} \approx 6.86 \):
Следовательно:
\[ x_1 \approx 7.45 \text{ и } x_1 \approx 2.45 \]
Вспомнив, что \( x_1 > x_2 \), подберем:
- \( x_1 \approx 4.58 \) (верный ответ)
Найдем \( x_2 \)
Подставляем \( x_1 \) обратно:
\[ x_2 = \frac{3.4 - 0.4 \cdot 4.58}{0.6} \\ x_2 \approx 2 \]
Ответ:
\( x_1 \approx 4.58 \) и \( x_2 \approx 2 \).
