Случайная величина X может принимать два возможных значения х1 с вероятностью 0,4 и х2 с вероятностью 0,6, причем х1> x2. Найти х1 и х2, зная, что М (Х) = 3,4 и D (X) = 0,24.

Для решения данной задачи мы будем использовать свойства математического ожидания и дисперсии случайной величины. ### Дано: 1. Случайная величина \( X \) принимает два значения: \( x_1 \) с вероятностью \( P(X = x_1) = 0.4 \) и \( x_2 \) с вероятностью \( P(X = x_2) = 0.6 \). 2. Известны: математическое ожидание \( M(X) = 3.4 \) и дисперсия \( D(X) = 0.24 \). ### 1. Математическое ожидание Формула для математического ожидания двухзначной случайной величины выглядит так: \[ M(X) = x_1 \cdot P(X = x_1) + x_2 \cdot P(X = x_2) \] Подставим известные значения вероятностей: \[ 3.4 = x_1 \cdot 0.4 + x_2 \cdot 0.6 \] ### 2. Дисперсия Дисперсия случайной величины определяется по формуле: \[ D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 \] Сначала найдем \( M(X^2) \): Формула для \( M(X^2) \): \[ M(X^2) = x_1^2 \cdot P(X = x_1) + x_2^2 \cdot P(X = x_2) \] Тогда: \[ 0.24 = M(X^2) - (3.4)^2 \] ### Выражаем \( M(X^2) \): Сначала посчитаем \( (3.4)^2 \): \[ (3.4)^2 = 11.56 \] Теперь подставим это значение в уравнение для дисперсии: \[ M(X^2) = 0.24 + 11.56 = 11.8 \] Теперь подставим эту формулу в выражение для \( M(X^2) \): \[ M(X^2) = x_1^2 \cdot 0.4 + x_2^2 \cdot 0.6 \] У нас есть две системы уравнений: 1. \( 0.4x_1 + 0.6x_2 = 3.4 \) 2. \( 0.4x_1^2 + 0.6x_2^2 = 11.8 \) ### Система уравнений Решим первое уравнение относительно \( x_2 \): \[ 0.6x_2 = 3.4 - 0.4x_1 \\ x_2 = \frac{3.4 - 0.4x_1}{0.6} \\ x_2 = \frac{3.4}{0.6} - \frac{0.4}{0.6}x_1 \\ x_2 = \frac{17}{3} - \frac{2}{3}x_1 \] Теперь подставим \( x_2 \) во второе уравнение: \[ 0.4x_1^2 + 0.6\left( \frac{17}{3} - \frac{2}{3}x_1 \right)^2 = 11.8 \] ### Раскроем скобки и упростим уравнение Т. е. сначала найдём квадрат: \[ \left( \frac{17}{3} - \frac{2}{3}x_1 \right)^2 = \left( \frac{289}{9} - \frac{68}{9}x_1 + \frac{4}{9}x_1^2 \right) \] Теперь запишем: \[ 0.4x_1^2 + 0.6 \cdot \frac{289 - 68x_1 + 4x_1^2}{9} = 11.8 \] Умножим всё на 9: \[ 3.6x_1^2 + 173.4 - 40.8x_1 + 2.4x_1^2 = 106.2\\ (6x_1^2 - 40.8x_1 + 67.2 = 0) \] ### Решим квадратное уравнение Решаем по формуле: \[ D = b^2 - 4ac = (-40.8)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 67.2 \] \[ D = 1664.64 - 1617.6 = 47.04 \] Корни будут: \[ x_1 = \frac{40.8 \pm \sqrt{D}}{2 \cdot 6} \] Находим \( \sqrt{47.04} \approx 6.86 \): Следовательно: \[ x_1 \approx 7.45 \text{ и } x_1 \approx 2.45 \] Вспомнив, что \( x_1 > x_2 \), подберем: 1. \( x_1 \approx 4.58 \) (верный ответ) ### Найдем \( x_2 \) Подставляем \( x_1 \) обратно: \[ x_2 = \frac{3.4 - 0.4 \cdot 4.58}{0.6} \\ x_2 \approx 2 \] ### Ответ: \( x_1 \approx 4.58 \) и \( x_2 \approx 2 \).