Средняя линия трапеции равна 17. Одна из диагоналей делит её на два отрезка, разность которых равна 5. Найдите меньшее основание трапеции.

Чтобы решить данную задачу, начнем с понимания основных свойств трапеции и формул, связанных с ней.

1. Определим известные параметры:

   • Средняя линия трапеции \( m = 17 \).
   • Разность отрезков, на которые делит диагональ трапецию, равна \( 5 \).

2. Свойство средней линии: Средняя линия трапеции равна половине суммы её оснований. Обозначим основания трапеции как \( a \) и \( b \) (где \( a \) — большее основание, а \( b \) — меньшее).

   \[ m = \frac{a + b}{2} \implies 17 = \frac{a + b}{2} \implies a + b = 34 \]

3. Разность отрезков диагонали: Пусть диагональ делит трапецию на два отрезка, тогда обозначим их как \( x \) и \( y \), принимая, что \( x - y = 5 \) (где \( x \) — больший отрезок, а \( y \) — меньший).

   Мы можем выразить \( x \) через \( y \): \[ x = y + 5 \]

4. Система уравнений: У нас есть два уравнения:

   • \( a + b = 34 \)
   • \( x - y = 5\) (или \( x = y + 5 \))

   Однако нам необходимо выразить \( b \) через \( a \) и найти \( b \). Для этого нам нужно дополнительно учитывать условия задачи о разности отрезков диагонали.

5. Рассмотрим соотношения оснований: Зная, что средняя линия — это половина суммы оснований, давайте выразим одно из оснований через другое. Обозначим меньшее основание как \( b \):

   \[ a = 34 - b \]

   Поскольку по данной задаче мы не имеем конкретного значения для \( x \) и \( y \), и разность отрезков нам не поможет в нахождении оснований, мы можем воспользоваться соотношениями через диагонали или вспомогательные элементы.

6. Находим решения: Воспользуемся свойством трапеции, чтобы выразить основания в зависимости от вывода о разности. Поскольку разность оснований так же влияет на длину отрезков диагонали:

   \[ (b + 5) - b = 5 \]

   Подставив \( b \): \[ (34 - b + 5) - b = 5 \implies 34 - 2b + 5 = 5 \implies 34 - 2b = 0 \]

7. Решение: Преобразуем это уравнение: \[ 34 = 2b \implies b = 17 \]

   Следовательно, \( a = 34 - 17 = 17 \).

Таким образом, меньшее основание трапеции \( b \) равно \( 17 \). Мы получили, что оба основания равны (в данном случае это может быть равнобедренная трапеция).

Ответ: Меньшее основание трапеции равно 17.