Для решения задачи о серии испытаний Бернулли, где вероятность успеха ( p = \frac{1}{2} ), воспользуемся определением математического ожидания.
Определения
Испытание Бернулли: Эксперимент с двумя исходами: успех (с вероятностью ( p )) и неудача (с вероятностью ( 1 - p )).
Число успехов: В ( n ) испытаниях количество успехов можно описать с помощью биномиального распределения.
Математическое ожидание: Математическое ожидание (или среднее) случайной величины — это сумма всех возможных значений этой величины, взвешенных по их вероятностям.
Решение
а) Математическое ожидание числа успехов
Если мы проводим ( n ) испытаний, то количество успехов ( X ), которое подчиняется биномиальному распределению, имеет математическое ожидание, равное:
[
E(X) = n \cdot p
]
Подставляем значение ( p = \frac{1}{2} ):
[
E(X) = n \cdot \frac{1}{2} = \frac{n}{2}
]
б) Математическое ожидание числа неудач
Количество неудач ( Y ) можно выразить как ( Y = n - X ). Мы также можем найти математическое ожидание числа неудач:
[
E(Y) = E(n - X) = n - E(X)
]
Теперь подставим найденное значение математического ожидания числа успехов:
[
E(Y) = n - \frac{n}{2} = \frac{n}{2}
]
Итог
Таким образом, для проведения ( n ) испытаний Бернулли с вероятностью успеха ( p = \frac{1}{2} :
- а) Математическое ожидание числа успехов: ( E(X) = \frac{n}{2} )
- б) Математическое ожидание числа неудач: ( E(Y) = \frac{n}{2} )
Это означает, что при большом количестве испытаний, в среднем, мы ожидаем равное количество успехов и неудач.
