Проводится серия из и испытаний Бернулли с вероятностью успеха р =1/2 при каждом испытании. Найдите математическое ожидание: а) числа успехов; б) числа неудач.
Для решения задачи о серии испытаний Бернулли, где вероятность успеха \( p = \frac{1}{2} \), воспользуемся определением математического ожидания.
Определения
Испытание Бернулли: Эксперимент с двумя исходами: успех (с вероятностью \( p \)) и неудача (с вероятностью \( 1 - p \)).
Число успехов: В \( n \) испытаниях количество успехов можно описать с помощью биномиального распределения.
Математическое ожидание: Математическое ожидание (или среднее) случайной величины — это сумма всех возможных значений этой величины, взвешенных по их вероятностям.
Решение
а) Математическое ожидание числа успехов
Если мы проводим \( n \) испытаний, то количество успехов \( X \), которое подчиняется биномиальному распределению, имеет математическое ожидание, равное:
\[ E(X) = n \cdot p \]
Подставляем значение \( p = \frac{1}{2} \):
\[ E(X) = n \cdot \frac{1}{2} = \frac{n}{2} \]
б) Математическое ожидание числа неудач
Количество неудач \( Y \) можно выразить как \( Y = n - X \). Мы также можем найти математическое ожидание числа неудач:
\[ E(Y) = E(n - X) = n - E(X) \]
Теперь подставим найденное значение математического ожидания числа успехов:
\[ E(Y) = n - \frac{n}{2} = \frac{n}{2} \]
Итог
Таким образом, для проведения \( n \) испытаний Бернулли с вероятностью успеха \( p = \frac{1}{2} \: - а) Математическое ожидание числа успехов: \( E(X) = \frac{n}{2} \)
- б) Математическое ожидание числа неудач: \( E(Y) = \frac{n}{2} \)
Это означает, что при большом количестве испытаний, в среднем, мы ожидаем равное количество успехов и неудач.
