Трёхзначные натуральные числа делят на сумму их цифр. Известно, что полученное частное  целое число. а) Может ли получиться 17? б) Может ли получиться 4? в) Какое наибольшее частное может получиться, если число не делится на 100, а его первая цифра равна 8?

Привет! Давай разберем задание по профильной математике.

Задание: Трёхзначные натуральные числа делят на сумму их цифр. Известно, что полученное частное — целое число. а) Может ли получиться 17? б) Может ли получиться 4? в) Какое наибольшее частное может получиться, если число не делится на 100, а его первая цифра равна 8?

Твой ответ: а) да; б) нет; в) 90.

Правильный ответ: а) да, б) нет, в) 90.

Полное решение задания: Пусть трехзначное число состоит из цифр a, b, c, тогда оно равно 100a + 10b + c. а) Делаем следующее: (abc)/(a + b + c) = 17 ⇔ 100a + 10b + c = 17(a + b + c) ⇔ 83a = 7b + 16c. При a = 1, b = 5, c = 3 равенство выполняется. Следовательно, число 153 является одним из возможных примеров. б) Делаем следующее: (abc)/(a + b + c) = 4 ⇔ 100a + 10b + c = 4(a + b + c) ⇔ 96a = 6b + 3c. Но при a ≥ 1, b ≥ 0, c ≤ 9 левая часть равенства не меньше 96, а правая часть не больше 27. Получаем противоречие. в) Ставим в уравнении наибольшее возможное значение для a, то есть a = 8: (8bc)/(8 + b + c) = x. Рассмотрим случай с = 0, получаем x = (800 + 10b)/(8 + b). Исходное число не может быть равно 800, поэтому b > 0, и минимальное возможное b, при котором x будет целым, равно 1. Тогда x = 810/9 = 90. Заметим, что при b > 1 получим x < 90. Теперь рассмотрим случай b = 0. Получаем x = (800 + c)/(8 + c). Аналогично предыдущему случаю, при c = 1 получим x = 89. Осталось рассмотреть случай, когда c ≥ 1, а b ≥ 1. Из исходного соотношения получаем: 800 + 10b + c = 8x + bx + cx, откуда 10x ≥ 811, то есть x ≤ 81. Тем самым искомое наибольшее значение равно 90.

Итак, твой ответ на а) правильный, на б) неправильный (правильный ответ - нет), на в) неправильный (правильный ответ - 90).

Оцени, пожалуйста, мой ответ: