пассажир проехал в поезде 120км и вернулся с обратным поездом, проходящим в час на 5 км больше. определите скорость каждого поезда, если известно, что на обратный путь он затратил…

Для решения этой задачи мы будем использовать основные формулы для скорости, расстояния и времени. Давайте обозначим скорость первого поезда (поезда в одну сторону) как \( v \) км/ч. Тогда скорость обратного поезда будет \( v + 5 \) км/ч, так как она на 5 км/ч больше.

Далее мы знаем, что расстояние между двумя станциями составляет 120 км.

Шаг 1: Запишем формулы для времени в пути

Время, потраченное на поездку в одну сторону, можно выразить через скорость и расстояние: \[ t_1 = \frac{120}{v} \] где \( t_1 \) — время в пути в одну сторону.

Время, потраченное на обратную поездку, будет: \[ t_2 = \frac{120}{v + 5} \] где \( t_2 \) — время в пути в обратную сторону.

Шаг 2: Вспомним условие задачи

Согласно условиям задачи, на обратный путь пассажир затратил на 20 минут (или \(\frac{1}{3}\) часа) меньше, чем на первую поездку: \[ t_1 - t_2 = \frac{1}{3} \]

Шаг 3: Подставим выражения для времени в уравнение

Подставим \( t_1 \) и \( t_2 \) в уравнение: \[ \frac{120}{v} - \frac{120}{v + 5} = \frac{1}{3} \]

Шаг 4: Умножим все части уравнения на 3v(v + 5)

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе стороны на \( 3v(v + 5) \): \[ 3v(v + 5) \left(\frac{120}{v} - \frac{120}{v + 5}\right) = 3v(v + 5) \cdot \frac{1}{3} \]

Это упростится до: \[ 3 \cdot 120(v + 5) - 3 \cdot 120v = v(v + 5) \] \[ 360(v + 5) - 360v = v^2 + 5v \]

Шаг 5: Упростим уравнение

Упростим уравнение: \[ 360v + 1800 - 360v = v^2 + 5v \] \[ 1800 = v^2 + 5v \]

Шаг 6: Приведем уравнение к стандартному виду

Перепишем уравнение: \[ v^2 + 5v - 1800 = 0 \]

Шаг 7: Решим квадратное уравнение

Теперь решим это уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1800) = 25 + 7200 = 7225 \]

Находим корни: \[ v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{7225}}{2 \cdot 1} \] \[ \sqrt{7225} = 85 \quad \text{(так как } 85^2 = 7225\text{)} \] \[ v = \frac{-5 + 85}{2} = \frac{80}{2} = 40 \quad \text{(отрицательное значение не учитываем)} \]

Шаг 8: Находим скорость обратного поезда

Теперь, зная скорость первого поезда \( v = 40 \) км/ч, мы можем найти скорость обратного поезда: \[ v + 5 = 40 + 5 = 45 \text{ км/ч.} \]

Ответ

Скорость первого поезда составляет 40 км/ч, а скорость обратного поезда — 45 км/ч.