Для решения этой задачи мы будем использовать основные формулы для скорости, расстояния и времени. Давайте обозначим скорость первого поезда (поезда в одну сторону) как ( v ) км/ч. Тогда скорость обратного поезда будет ( v + 5 ) км/ч, так как она на 5 км/ч больше.
Далее мы знаем, что расстояние между двумя станциями составляет 120 км.
Шаг 1: Запишем формулы для времени в пути
Время, потраченное на поездку в одну сторону, можно выразить через скорость и расстояние:
[
t_1 = \frac{120}{v}
]
где ( t_1 ) — время в пути в одну сторону.
Время, потраченное на обратную поездку, будет:
[
t_2 = \frac{120}{v + 5}
]
где ( t_2 ) — время в пути в обратную сторону.
Шаг 2: Вспомним условие задачи
Согласно условиям задачи, на обратный путь пассажир затратил на 20 минут (или (\frac{1}{3}) часа) меньше, чем на первую поездку:
[
t_1 - t_2 = \frac{1}{3}
]
Шаг 3: Подставим выражения для времени в уравнение
Подставим ( t_1 ) и ( t_2 ) в уравнение:
[
\frac{120}{v} - \frac{120}{v + 5} = \frac{1}{3}
]
Шаг 4: Умножим все части уравнения на 3v(v + 5)
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе стороны на ( 3v(v + 5) ):
[
3v(v + 5) \left(\frac{120}{v} - \frac{120}{v + 5}\right) = 3v(v + 5) \cdot \frac{1}{3}
]
Это упростится до:
[
3 \cdot 120(v + 5) - 3 \cdot 120v = v(v + 5)
]
[
360(v + 5) - 360v = v^2 + 5v
]
Шаг 5: Упростим уравнение
Упростим уравнение:
[
360v + 1800 - 360v = v^2 + 5v
]
[
1800 = v^2 + 5v
]
Шаг 6: Приведем уравнение к стандартному виду
Перепишем уравнение:
[
v^2 + 5v - 1800 = 0
]
Шаг 7: Решим квадратное уравнение
Теперь решим это уравнение с помощью дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1800) = 25 + 7200 = 7225
]
Находим корни:
[
v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{7225}}{2 \cdot 1}
]
[
\sqrt{7225} = 85 \quad \text{(так как } 85^2 = 7225\text{)}
]
[
v = \frac{-5 + 85}{2} = \frac{80}{2} = 40 \quad \text{(отрицательное значение не учитываем)}
]
Шаг 8: Находим скорость обратного поезда
Теперь, зная скорость первого поезда ( v = 40 ) км/ч, мы можем найти скорость обратного поезда:
[
v + 5 = 40 + 5 = 45 \text{ км/ч.}
]
Ответ
Скорость первого поезда составляет 40 км/ч, а скорость обратного поезда — 45 км/ч.
