В прямоугольном треугольнике катет,лежащий напротив угла в 30°,равен 20 см. Найдите синус и тангенс другого острого угла этого треугольника
В данной задаче мы работаем с прямоугольным треугольником, один из острых углов которого равен 30°. Давайте решим эту задачу пошагово.
Шаг 1: Определим элементы треугольника
Прямоугольный треугольник имеет три стороны:
- Прямой угол (90°).
- Один угол 30° (по условию задачи).
- Другой острый угол, который можно найти (назовём его α).
Так как сумма всех углов в треугольнике равна 180°, мы можем найти угол α:
\[ \alpha = 180° - 90° - 30° = 60° \]
Шаг 2: Связь между сторонами и углами
В треугольнике с углом 30° и углом 60° ширина катета, противостоящего углу 30°, составляет 20 см. Мы можем использовать свойства треугольника для вычисления других сторон.
Для треугольника с углом 30° и углом 60° имеет место следующее соотношение:
- Сторона, противостоящая 30° (катет): \( a = 20 \) см.
- Сторона, противостоящая 60° (катет): \( b = a \cdot \sqrt{3} = 20 \cdot \sqrt{3} \) см.
- Гипотенуза: \( c = \frac{a}{\sin{30°}} = \frac{20}{0.5} = 40 \) см.
Шаг 3: Рассчитаем синус и тангенс угла 60°
Теперь мы можем найти синус и тангенс острого угла α (60°).
- Синус угла 60°:
\[ \sin(60°) = \frac{\text{Противолежащий катет}}{\text{Гипотенуза}} = \frac{b}{c} = \frac{20 \sqrt{3}}{40} = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
- Тангенс угла 60°:
\[ \tan(60°) = \frac{\text{Противолежащий катет}}{\text{Прилежащий катет}} = \frac{b}{a} = \frac{20 \sqrt{3}}{20} = \sqrt{3} \]
Шаг 4: Ответ
Итак, для второго острого угла (60°) мы нашли:
- Синус: \(\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
- Тангенс: \(\tan(60°) = \sqrt{3}\)
Это решение завершено, и теперь вы знакомы с вычислением синуса и тангенса угла в прямоугольном треугольнике! Если остались вопросы, не стесняйтесь задавать!
