Найди сумму первых сорока пяти членов арифметической прогрессии ( a n ) (a n ) , если a 1 = 14 a 1 =14 , d = 31 d=31 .

Чтобы найти сумму первых 45 членов арифметической прогрессии, мы воспользуемся формулой для суммы первых \( n \) членов арифметической прогрессии:

\[ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) \]

где:

• \( S_n \) — сумма первых \( n \) членов,
• \( n \) — количество членов,
• \( a_1 \) — первый член,
• \( a_n \) — \( n \)-й член.

Шаг 1: Найдем \( a_n \)

Сначала нам нужно определить \( a_n \) (в нашем случае, \( a_{45} \)). Для этого используем формулу вычисления \( n \)-го члена арифметической прогрессии:

\[ a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d \]

где:

• \( a_1 = 14 \) (первый член),
• \( d = 31 \) (разность прогрессии),
• \( n = 45 \).

Подставим значения в формулу:

\[ a_{45} = 14 + (45 - 1) \cdot 31 \] \[ = 14 + 44 \cdot 31 \] Теперь посчитаем \( 44 \cdot 31 \):

\[ 44 \cdot 31 = 1364 \] Теперь подставим обратно:

\[ a_{45} = 14 + 1364 = 1378 \]

Шаг 2: Найдем сумму первых 45 членов

Теперь, имея \( a_{45} \), мы можем найти сумму \( S_{45} \):

\[ S_{45} = \frac{45}{2}(a_1 + a_{45}) \] Подставим известные значения:

\[ S_{45} = \frac{45}{2}(14 + 1378) \] \[ = \frac{45}{2}(1392) \] Теперь посчитаем \( 45 \cdot 696 \):

\[ S_{45} = 45 \cdot 696 = 31260 \]

Ответ

Сумма первых 45 членов арифметической прогрессии равна \( 31260 \).