Для решения задачи давайте введем обозначения и поэтапно разберем каждое изменение цен.
Обозначим:
- Цена домика для кота — ( x )
- Цена когтеточки — ( y )
Изначально нам известно, что вместе они стоили 10,000 рублей:
[
x + y = 10000
]
Далее, мы рассматриваем изменения цен:
- Домик подорожал на 15%, что можно выразить формулой:
[
\text{Новая цена домика} = x + 0.15x = 1.15x
]
- Когтеточка подешевела на 20%, то есть:
[
\text{Новая цена когтеточки} = y - 0.20y = 0.80y
]
Теперь сумма новых цен составляет 9,400 рублей:
[
1.15x + 0.80y = 9400
]
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
- ( x + y = 10000 )
- ( 1.15x + 0.80y = 9400 )
Теперь решим эту систему уравнений. Начнем с первого уравнения и выразим ( y ):
[
y = 10000 - x
]
Подставим это значение ( y ) во второе уравнение:
[
1.15x + 0.80(10000 - x) = 9400
]
Раскроем скобки:
[
1.15x + 8000 - 0.80x = 9400
]
Соберем похожие члены:
[
(1.15 - 0.80)x + 8000 = 9400
]
[
0.35x + 8000 = 9400
]
Теперь вычтем 8000 из обеих сторон:
[
0.35x = 1400
]
Разделим обе стороны на 0.35, чтобы найти ( x ):
[
x = \frac{1400}{0.35} = 4000
]
Теперь найдем ( y ):
[
y = 10000 - x = 10000 - 4000 = 6000
]
Таким образом, мы получили:
- Цена домика для кота ( x = 4000 ) рублей
- Цена когтеточки ( y = 6000 ) рублей
Теперь проверим, актуальны ли наши изменения цен:
- Домик подорожал на 15%:
[
1.15 \times 4000 = 4600
]
- Когтеточка подешевела на 20%:
[
0.80 \times 6000 = 4800
]
Теперь сложим новые цены:
[
4600 + 4800 = 9400 \text{ рублей}
]
Это совпадает с условием задачи, значит, мы правильно решили.
Ответ:
Цена домика для кота — 4000 рублей, цена когтеточки — 6000 рублей.
