He can't (to imagine) him a designer. We don't want her (to disturb) us. She doesn't mind (to open) the window, it's so stuffy. My dad stopped (to smoke). I would like him (to…

Давайте разберем ваши предложения и поймем, как правильно использовать инфинитивы. Мы будем опираться на правила английской грамматики, касающиеся использования глаголов с инфинитивом и герундием (глагол с окончанием -ing).

1. He can't (to imagine) him a designer.
   Правильно будет: He can't imagine him as a designer.
   Здесь используется глагол "imagine", которому требуется герундий после себя, если "him" относится к тому, что обсуждается как концепция (представление о ком-то в роли).

2. We don't want her (to disturb) us.
   Правильно будет: We don't want her to disturb us.
   Здесь используется инфинитив "to disturb" после "want", потому что "want" требует следующего глагола в форме инфинтива.

3. She doesn't mind (to open) the window, it's so stuffy.
   Правильно будет: She doesn't mind opening the window; it's so stuffy.
   Глагол "mind" требует герундий (opening) после себя, который указывает на действие, которое она не против совершить.

4. My dad stopped (to smoke). I would like him (to stop) smoking!
   Правильно будет: My dad stopped smoking. I would like him to stop smoking!
   Первая часть: "stopped" используется с герундием (smoking), так как речь идет о завершении действия. Вторая часть использует инфинитив "to stop" после "would like".

5. The story is worth (to read).
   Правильно будет: The story is worth reading.
   Здесь "worth" требует герундий (reading) для обозначения полезности или ценности.

6. Would you prefer (to start) with some bread?
   Правильно будет: Would you prefer to start with some bread?
   "Prefer" требует инфинитив (to start).

7. They aren't fancy (to go) out tonight.
   Правильно будет: They aren't fancy to go out tonight.
   Здесь "fancy" может использоваться в контексте значения "быть склонным" или "хотеть", и это сочетание может быть не совсем обычным, но допустимым.

8. It's too difficult (to walk) in such hot weather.
   Правильно будет: It's too difficult to walk in such hot weather.
   "Difficult" требует инфинитив (to walk) для выражения действия, которое считается сложным.

9. They promised (to come) the other day.
   Правильно будет: They promised to come the other day.
   После "promised" используется инфинитив (to come) для обозначения обещания.

10. Avoid (to eat) the food that had been kept too long in summer.
    Правильно будет: Avoid eating the food that had been kept too long in summer.
    "Avoid" также требует герундий (eating) для обозначения того, что надо избегать.

Общие выводы:

• Используйте инфинитив (to + глагол) после глаголов: want, prefer, promise.
• Используйте герундий (глагол с -ing) после глаголов: mind, worth, stop (в значении прекращать делать что-то), avoid.

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно больше примеров, не стесняйтесь спрашивать!