Два числа при делении на 16 дают остаток 8. Доказать, что разность и сумма этих чисел без остатка делятся на 16.

Пусть два числа обозначим как \( a \) и \( b \). По условию задачи, они при делении на 16 дают остаток 8, то есть мы можем записать их в виде:

\[ a = 16k + 8 \quad \text{и} \quad b = 16m + 8 \]

где \( k \) и \( m \) — это целые числа.

Теперь мы найдем сумму и разность этих чисел:

1. Сумма:

\[ a + b = (16k + 8) + (16m + 8) = 16k + 16m + 16 = 16(k + m + 1) \]

Сумма \( a + b \) делится на 16 без остатка, так как она равна \( 16 \) умноженному на целое число \( (k + m + 1) \).

2. Разность:

\[ a - b = (16k + 8) - (16m + 8) = 16k - 16m + 8 - 8 = 16k - 16m = 16(k - m) \]

Разность \( a - b \) также делится на 16 без остатка, так как она равна \( 16 \) умноженному на целое число \( (k - m) \).

Таким образом, мы доказали, что и сумма, и разность двух чисел, которые при делении на 16 дают остаток 8, делятся на 16 без остатка.