Катеты прямоугольного треугольника относятся как 5 : 12. Гипотенуза равна 39. Найдите катеты этого треугольника.

Для решения задачи, давайте обозначим катеты прямоугольного треугольника как \( a \) и \( b \). По условию они относятся как \( 5:12 \). Это означает, что мы можем записать: \[ a = 5x \quad \text{и} \quad b = 12x \] где \( x \) — некоторый множитель, который нам нужно определить. Также в задаче указано, что гипотенуза \( c = 39 \). Согласно теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, справедливо следующее равенство: \[ c^2 = a^2 + b^2 \] Подставим наши выражения для катетов в формулу: \[ 39^2 = (5x)^2 + (12x)^2 \] Теперь посчитаем \( 39^2 \): \[ 39^2 = 1521 \] Теперь у нас есть уравнение: \[ 1521 = (5x)^2 + (12x)^2 \] Рассчитаем каждую из квадратов: \[ (5x)^2 = 25x^2 \quad \text{и} \quad (12x)^2 = 144x^2 \] Теперь подставим их в уравнение: \[ 1521 = 25x^2 + 144x^2 \] Это упрощается до: \[ 1521 = 169x^2 \] Теперь решим это уравнение относительно \( x^2 \): \[ x^2 = \frac{1521}{169} \] Посчитаем \( \frac{1521}{169} \): \[ x^2 = 9 \] Затем извлечь корень: \[ x = 3 \] Теперь мы можем найти катеты \( a \) и \( b \): \[ a = 5x = 5 \times 3 = 15 \] \[ b = 12x = 12 \times 3 = 36 \] Таким образом, катеты прямоугольного треугольника равны: - \( a = 15 \) - \( b = 36 \) Ответ: катеты треугольника равны 15 и 36.