Катеты прямоугольного треугольника относятся как 5 : 12. Гипотенуза равна 39. Найдите катеты этого треугольника.

Для решения задачи, давайте обозначим катеты прямоугольного треугольника как \( a \) и \( b \). По условию они относятся как \( 5:12 \). Это означает, что мы можем записать:

\[ a = 5x \quad \text{и} \quad b = 12x \]

где \( x \) — некоторый множитель, который нам нужно определить.

Также в задаче указано, что гипотенуза \( c = 39 \).

Согласно теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, справедливо следующее равенство:

\[ c^2 = a^2 + b^2 \]

Подставим наши выражения для катетов в формулу:

\[ 39^2 = (5x)^2 + (12x)^2 \]

Теперь посчитаем \( 39^2 \):

\[ 39^2 = 1521 \]

Теперь у нас есть уравнение:

\[ 1521 = (5x)^2 + (12x)^2 \]

Рассчитаем каждую из квадратов:

\[ (5x)^2 = 25x^2 \quad \text{и} \quad (12x)^2 = 144x^2 \]

Теперь подставим их в уравнение:

\[ 1521 = 25x^2 + 144x^2 \]

Это упрощается до:

\[ 1521 = 169x^2 \]

Теперь решим это уравнение относительно \( x^2 \):

\[ x^2 = \frac{1521}{169} \]

Посчитаем \( \frac{1521}{169} \):

\[ x^2 = 9 \]

Затем извлечь корень:

\[ x = 3 \]

Теперь мы можем найти катеты \( a \) и \( b \):

\[ a = 5x = 5 \times 3 = 15 \]

\[ b = 12x = 12 \times 3 = 36 \]

Таким образом, катеты прямоугольного треугольника равны:

• \( a = 15 \)
• \( b = 36 \)

Ответ: катеты треугольника равны 15 и 36.