Построй график функции y = система: x² - 2x - 1, x больше или равняется нулю; x + 1, x меньше 0. Определи при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки
Чтобы решить задачу, мы сначала построим график заданной функции и затем определим, при каких значениях \( m \) прямая \( y = m \) пересекает график функции в ровно двух точках.
Шаг 1: Построение графика функции
Функция определяется по частям:
- \( y = x^2 - 2x - 1 \) для \( x \geq 0 \)
- \( y = x + 1 \) для \( x < 0 \)
График первой части: \( y = x^2 - 2x - 1 \)
Это квадратная функция. Давайте сначала найдем её вершину:
Формула для вершины параболы \( y = ax^2 + bx + c \) даёт координаты вершины \( x = -\frac{b}{2a} \).
Здесь \( a = 1 \), \( b = -2 \), \( c = -1 \):
\[ x_{вершины} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1 \]
Теперь найдем значение функции в этой точке:
\[ y_{вершины} = (1)^2 - 2(1) - 1 = 1 - 2 - 1 = -2 \]
Таким образом, вершина параболы находится в точке \( (1, -2) \).
Теперь найдем точки пересечения параболы с осью \( x \) (где \( y = 0 \)):
Решаем уравнение:
\[ x^2 - 2x - 1 = 0 \]
Используем дискриминант \( D = b^2 - 4ac \):
\[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8 \]
Решения будут:
\[ x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = 1 \pm \sqrt{2} \]
Поскольку нас интересует только область \( x \geq 0 \), то в зоне \( x \geq 0 \) у нас есть точки:
\[ x_1 = 1 + \sqrt{2} \quad (x_2 = 1 - \sqrt{2} < 0) \]
Теперь мы имеем:
- Вершина: \( (1, -2) \)
- Пересечение с осью \( x \): \( (1 + \sqrt{2}, 0) \)
График второй части: \( y = x + 1 \)
Эта функция — прямая, которая проходит через точку \( (0, 1) \) и имеет наклон \( 1 \). Для \( x < 0 \) функция возрастает до точки \( (0, 1) \).
Шаг 2: Анализ пересечения с прямой \( y = m \)
Мы ищем, при каких значениях \( m \) прямая \( y = m \) пересекает график функции в ровно двух точках.
Для \( m < -2 \): Прямая будет ниже вершины параболы. Она пересечёт параболу в двух точках, но не пересечёт прямую, поскольку \( y = x + 1 \) для \( x < 0 \) выше \( -2 \).
Для \( -2 < m < 1 \): Прямая \( y = m \) будет пересекать параболу в двух точках (одна из точек на параболе будет выше вершины, а другая ниже) и прямую \( y = x + 1 \) в одной точке (так как прямая пересечет x-ось выше нуля). Итого - 3 точки.
Для \( m = 1 \): Прямая коснётся прямой \( y = x + 1 \) в точке симметрии, и будет пересекать параболу в двух точках. Итого - 3 точки.
Для \( m = 0 \): Прямая будет пересекать параболу в двух точках и будет одновременно пересекаться с прямой \( y = x + 1 \) в одной точке, итого - 3 точки.
Для \( m > 1 \): Прямая пересекает параболу в двух точках и всегда пересекает прямую \( y = x + 1 \) в одной точке, итого - 3 точки.
Вывод
Прямая \( y = m \) пересечется с графиком функции в ровно две точки при следующих значениях \( m \):
- \( m = -2 \) (пересечение только с параболой)
Таким образом, \( m \) должно быть значительно ниже \( -2 \) (например, \( m < -2 \)).
