найдите наибольшее значение функции ln(x+4)^3 - 3x

Чтобы найти наибольшее значение функции \( f(x) = \ln((x + 4)^3) - 3x \), сначала упростим выражение для удобства:

\[ f(x) = 3\ln(x + 4) - 3x. \]

Шаг 1: Найдем производную

Для нахождения максимума или минимума функции нам нужно найти её производную и приравнять её к нулю:

\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(3\ln(x + 4)) - \frac{d}{dx}(3x). \]

Теперь вычислим каждую часть:

• Производная от \( 3\ln(x + 4) \) по правилу производной логарифма:

\[ \frac{d}{dx}(3\ln(x + 4)) = 3 \cdot \frac{1}{x + 4} \cdot 1 = \frac{3}{x + 4}. \]

• Производная от \( 3x \) равна \( 3 \).

Теперь подставим это в выражение для производной:

\[ f'(x) = \frac{3}{x + 4} - 3. \]

Шаг 2: Найдем критические точки

Приравняем \( f'(x) \) к нулю:

\[ \frac{3}{x + 4} - 3 = 0. \]

Решим это уравнение:

\[ \frac{3}{x + 4} = 3. \]

Умножим обе части уравнения на \( x + 4 \) (при условии, что \( x + 4 \neq 0 \)):

\[ 3 = 3(x + 4). \]

Упрощаем уравнение:

\[ 3 = 3x + 12, \] \[ 3x = 3 - 12, \] \[ 3x = -9, \] \[ x = -3. \]

Шаг 3: Признаки максимума и минимума

Теперь нужно проверить, является ли точка \( x = -3 \) максимумом или минимумом. Для этого найдем вторую производную \( f''(x) \):

\[ f''(x) = -\frac{3}{(x + 4)^2}. \]

Поскольку знаменатель всегда положителен (для \( x > -4 \)), вторая производная \( f''(x) \) всегда отрицательна. Это значит, что функция \( f(x) \) имеет максимум в точке \( x = -3 \).

Шаг 4: Найдем наибольшее значение

Теперь подставим \( x = -3 \) обратно в функцию \( f(x) \):

\[ f(-3) = 3\ln(-3 + 4) - 3(-3) = 3\ln(1) + 9 = 3 \cdot 0 + 9 = 9. \]

Ответ

Таким образом, наибольшее значение функции \( f(x) \) равно \( 9 \), и оно достигается в точке \( x = -3 \).