Найдите наибольшее значение функции ln(x+4)^3 - 3x

Чтобы найти наибольшее значение функции \( f(x) = \ln((x + 4)^3) - 3x \), сначала упростим выражение для удобства: \[ f(x) = 3\ln(x + 4) - 3x. \] ### Шаг 1: Найдем производную Для нахождения максимума или минимума функции нам нужно найти её производную и приравнять её к нулю: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(3\ln(x + 4)) - \frac{d}{dx}(3x). \] Теперь вычислим каждую часть: - Производная от \( 3\ln(x + 4) \) по правилу производной логарифма: \[ \frac{d}{dx}(3\ln(x + 4)) = 3 \cdot \frac{1}{x + 4} \cdot 1 = \frac{3}{x + 4}. \] - Производная от \( 3x \) равна \( 3 \). Теперь подставим это в выражение для производной: \[ f'(x) = \frac{3}{x + 4} - 3. \] ### Шаг 2: Найдем критические точки Приравняем \( f'(x) \) к нулю: \[ \frac{3}{x + 4} - 3 = 0. \] Решим это уравнение: \[ \frac{3}{x + 4} = 3. \] Умножим обе части уравнения на \( x + 4 \) (при условии, что \( x + 4 \neq 0 \)): \[ 3 = 3(x + 4). \] Упрощаем уравнение: \[ 3 = 3x + 12, \] \[ 3x = 3 - 12, \] \[ 3x = -9, \] \[ x = -3. \] ### Шаг 3: Признаки максимума и минимума Теперь нужно проверить, является ли точка \( x = -3 \) максимумом или минимумом. Для этого найдем вторую производную \( f''(x) \): \[ f''(x) = -\frac{3}{(x + 4)^2}. \] Поскольку знаменатель всегда положителен (для \( x > -4 \)), вторая производная \( f''(x) \) всегда отрицательна. Это значит, что функция \( f(x) \) имеет максимум в точке \( x = -3 \). ### Шаг 4: Найдем наибольшее значение Теперь подставим \( x = -3 \) обратно в функцию \( f(x) \): \[ f(-3) = 3\ln(-3 + 4) - 3(-3) = 3\ln(1) + 9 = 3 \cdot 0 + 9 = 9. \] ### Ответ Таким образом, наибольшее значение функции \( f(x) \) равно \( 9 \), и оно достигается в точке \( x = -3 \).