Сократите дробь: а) х²-2х-3/х²-3х-4 б) p²-4p/p²-5p+4 в) а²-6а+9/2а²-а-15 г) у²-2у+1/2-у-у²

Чтобы сократить дроби, необходимо разложить числитель и знаменатель на множители, а затем отменить общие множители. Рассмотрим каждую задачу по отдельности.

а) \( \frac{x^2 - 2x - 3}{x^2 - 3x - 4} \)

1. Разложение числителя: \[ x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1) \] Это можно проверить, перемножив: \((x - 3)(x + 1) = x^2 + x - 3x - 3 = x^2 - 2x - 3\).

2. Разложение знаменателя: \[ x^2 - 3x - 4 = (x - 4)(x + 1) \] Проверим: \((x - 4)(x + 1) = x^2 + x - 4x - 4 = x^2 - 3x - 4\).

3. Подставляем разложенные множители в дробь: \[ \frac{(x - 3)(x + 1)}{(x - 4)(x + 1)} \]

4. Сокращаем дробь: \( (x + 1) \) сокращается: \[ \frac{x - 3}{x - 4}, \quad x \neq -1 \]

б) \( \frac{p^2 - 4p}{p^2 - 5p + 4} \)

1. Разложение числителя: \[ p^2 - 4p = p(p - 4) \]

2. Разложение знаменателя: \[ p^2 - 5p + 4 = (p - 4)(p - 1) \]

3. Подставляем разложенные множители: \[ \frac{p(p - 4)}{(p - 4)(p - 1)} \]

4. Сокращаем дробь: \( (p - 4) \) сокращается: \[ \frac{p}{p - 1}, \quad p \neq 4 \]

в) \( \frac{a^2 - 6a + 9}{2a^2 - a - 15} \)

1. Разложение числителя: \[ a^2 - 6a + 9 = (a - 3)^2 \]

2. Разложение знаменателя: \[ 2a^2 - a - 15 = (2a + 5)(a - 3) \] Проверим: \((2a + 5)(a - 3) = 2a^2 - 6a + 5a - 15 = 2a^2 - a - 15\).

3. Подставляем разложенные множители: \[ \frac{(a - 3)^2}{(2a + 5)(a - 3)} \]

4. Сокращаем дробь: \( (a - 3) \) сокращается: \[ \frac{a - 3}{2a + 5}, \quad a \neq 3 \]

г) \( \frac{y^2 - 2y + 1}{2 - y - y^2} \)

1. Разложение числителя: \[ y^2 - 2y + 1 = (y - 1)^2 \]

2. Разложение знаменателя: Для знаменателя сначала перепишем его: \[ 2 - y - y^2 = - (y^2 + y - 2) = -((y - 1)(y + 2)) \]

3. Подставляем разложенные множители: \[ \frac{(y - 1)^2}{-((y - 1)(y + 2))} \]

4. Сокращаем дробь: \( (y - 1) \) сокращается: \[ -\frac{y - 1}{y + 2}, \quad y \neq 1 \]

Результаты

• а) \( \frac{x - 3}{x - 4}, \quad x \neq -1 \)
• б) \( \frac{p}{p - 1}, \quad p \neq 4 \)
• в) \( \frac{a - 3}{2a + 5}, \quad a \neq 3 \)
• г) \( -\frac{y - 1}{y + 2}, \quad y \neq 1 \)

Каждое сокращение шаг за шагом помогает лучше понять процесс разложения на множители и сокращения дробей. Если есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!