Для решения задачи найдем количество способов выбрать 8 человек из 12. Это комбинаторная задача, которая решается с помощью формулы сочетаний.
Сочетание (выбор) ( C(n, k) ) — это количество способов выбрать ( k ) объектов из ( n ) без учета порядка. Формула для вычисления сочетаний выглядит следующим образом:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
]
где ( n! ) (факториал ( n )) — это произведение всех целых чисел от 1 до ( n ).
В нашей задаче:
- ( n = 12 ) (общее количество участников)
- ( k = 8 ) (количество участников в команде)
Подставляем ( n ) и ( k ) в формулу:
[
C(12, 8) = \frac{12!}{8!(12-8)!} = \frac{12!}{8!4!}
]
Теперь нам нужно вычислить это значение. Начнём с расчета факториалов:
[
12! = 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8!
]
Сократим ( 8! ) в числителе и знаменателе:
[
C(12, 8) = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8!}{8! \times 4!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4!}
]
Теперь найдем ( 4! ):
[
4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24
]
Таким образом, у нас получится:
[
C(12, 8) = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{24}
]
Теперь посчитаем числитель:
[
12 \times 11 = 132
]
[
132 \times 10 = 1320
]
[
1320 \times 9 = 11880
]
Теперь делим 11880 на 24:
[
C(12, 8) = \frac{11880}{24} = 495
]
Таким образом, количество способов собрать команду из 8 человек из 12 составляет 495.
