В секции по спортивной гимнастике занимаются 12 12 ребят с тренером. Для участия в соревнованиях нужно собрать команду из восьми человек. Сколькими способами можно это сделать?
Для решения задачи найдем количество способов выбрать 8 человек из 12. Это комбинаторная задача, которая решается с помощью формулы сочетаний.
Сочетание (выбор) \( C(n, k) \) — это количество способов выбрать \( k \) объектов из \( n \) без учета порядка. Формула для вычисления сочетаний выглядит следующим образом:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]
где \( n! \) (факториал \( n \)) — это произведение всех целых чисел от 1 до \( n \).
В нашей задаче:
- \( n = 12 \) (общее количество участников)
- \( k = 8 \) (количество участников в команде)
Подставляем \( n \) и \( k \) в формулу:
\[ C(12, 8) = \frac{12!}{8!(12-8)!} = \frac{12!}{8!4!} \]
Теперь нам нужно вычислить это значение. Начнём с расчета факториалов:
\[ 12! = 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8! \]
Сократим \( 8! \) в числителе и знаменателе:
\[ C(12, 8) = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8!}{8! \times 4!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4!} \]
Теперь найдем \( 4! \):
\[ 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \]
Таким образом, у нас получится:
\[ C(12, 8) = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{24} \]
Теперь посчитаем числитель:
\[ 12 \times 11 = 132 \] \[ 132 \times 10 = 1320 \] \[ 1320 \times 9 = 11880 \]
Теперь делим 11880 на 24:
\[ C(12, 8) = \frac{11880}{24} = 495 \]
Таким образом, количество способов собрать команду из 8 человек из 12 составляет 495.
