5x/x+2 - 20/x²+2x = 4/x
Чтобы решить уравнение \( \frac{5x}{x+2} - \frac{20}{x^2 + 2x} = \frac{4}{x} \), давайте шаг за шагом разберем его.
Шаг 1: Упрощение уравнения
Первое, что мы заметим, это то, что в правой части уравнения есть \( \frac{4}{x} \), и, возможно, также стоит привести все части уравнения к общему знаменателю.
Знаменатель \( x^2 + 2x \) можно разложить: \[ x^2 + 2x = x(x + 2) \]
Теперь приведем все к общему знаменателю, которым будет \( x(x + 2) \).
Шаг 2: Приведение к общему знаменателю
Перепишем каждую часть уравнения с учетом общего знаменателя: \[ \frac{5x}{x+2} = \frac{5x \cdot x}{x(x + 2)} = \frac{5x^2}{x(x + 2)} \] \[ \frac{20}{x^2 + 2x} = \frac{20}{x(x + 2)} \] \[ \frac{4}{x} = \frac{4(x + 2)}{x(x + 2)} = \frac{4x + 8}{x(x + 2)} \]
Теперь уравнение выглядит так: \[ \frac{5x^2}{x(x + 2)} - \frac{20}{x(x + 2)} = \frac{4x + 8}{x(x + 2)} \]
Шаг 3: Убираем общий знаменатель
Поскольку знаменатель одинаковый, мы можем умножить обе стороны на \( x(x + 2) \), чтобы избавиться от него: \[ 5x^2 - 20 = 4x + 8 \]
Шаг 4: Перемещение всех членов на одну сторону
Теперь перенесем все члены на одну сторону уравнения: \[ 5x^2 - 4x - 20 - 8 = 0 \] \[ 5x^2 - 4x - 28 = 0 \]
Шаг 5: Решение квадратного уравнения
Теперь мы имеем квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac \] где \( a = 5 \), \( b = -4 \), \( c = -28 \).
Подставим значения: \[ D = (-4)^2 - 4(5)(-28) = 16 + 560 = 576 \]
Шаг 6: Находим корни уравнения
Теперь найдём корни по формуле: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{576}}{10} = \frac{4 \pm 24}{10} \]
Это дает два корня:
- \( x_1 = \frac{28}{10} = 2.8 \)
- \( x_2 = \frac{-20}{10} = -2 \)
Шаг 7: Проверка корней в исходном уравнении
Проверим, допустимы ли корни:
- \( x_1 = 2.8 \) допустим, так как не приводит к делению на ноль.
- \( x_2 = -2 \) недопустим, так как приводит к делению на ноль (в знаменателе \( x + 2 \)).
Ответ
Таким образом, единственным решением уравнения является: \[ x = 2.8 \]
