3:7

Давайте разберём задачу шаг за шагом. **Задача:** Луч \( KQ \) провели так, что его начало совпадает с вершиной угла \( TKS \), а расстояние от точки \( Q \) до сторон \( KS \) и \( KT \) одинаковое. Найди \( KQ \), если \(\angle TKS = 120^\circ\), а \( KS = 18 \) см. **Решение:** 1. **Понимание задачи:** Даны: угол \( \angle TKS = 120^\circ \) и \( KS = 18 \) см. Точка \( Q \) расположена так, что её расстояние до \( KS \) и \( KT \) одинаковое. Это означает, что точка \( Q \) лежит на биссектрисе угла \( TKS \). 2. **Используем свойство биссектрисы:** Для угла \( TKS \) с вершиной в точке \( K \), биссектриса делит угол пополам. Следовательно, каждый из двух новых углов, образованных биссектрисой, равен \( 60^\circ \) (так как \( 120^\circ/2 = 60^\circ \)). 3. **Рассмотрим треугольник \( KQS \):** Треугольник равнобедренный, так как \( Q \) равноудалена от сторон угла. То есть, \( KQ = QS \). 4. **Используем теорему косинусов:** В треугольнике \( KQS \), угол \( QKS = 60^\circ \). Поэтому для нахождения длины стороны \( KQ \), применяем теорему косинусов: \[ KQ^2 = KS^2 + QS^2 - 2 \cdot KS \cdot QS \cdot \cos(60^\circ) \] Но поскольку \( KQ = QS \), упростим: \[ KQ^2 = 2 \cdot KS^2 - 2 \cdot KS \cdot KS \cdot \cos(60^\circ) \] \(\cos(60^\circ) = 0.5\), тогда: \[ KQ^2 = 2 \cdot 18^2 - 2 \cdot 18^2 \cdot 0.5 \] \[ KQ^2 = 2 \cdot 324 - 324 \] \[ KQ^2 = 324 \] \[ KQ = \sqrt{324} = 18 \text{ см} \] **Ответ:** \( KQ = 18 \) см.